98 
P. Lindemann 
In § 7 der Abhandlung II wurde nachgewiesen, dai diese 
Gleichung unabhängig von linearen Transformationen der Varia- 
bein Z ist. 
3. Wir setzen jetzt die beiden Polygone durch die Abbildung 
( 6 ) ^ 
zueinander in Beziehung, wobei wir das Hyperbelpolygon von 
Nr. 2 in der Ebene der komplexen Variabein C = ^ denken. 
Dabei entsprechen bekanntlich den Parabeln mit gemeinsamem 
Brennpunkte {s = 0) der .S’-Ebene die geraden Linien der C-Ebene 
und den geraden Linien der .^-Ebene gleichseitige Hyperbeln mit 
gemeinsamem Mittelpunkt (t = 0) in der Z-Ebene. Aus dem 
Parabelpolygon, das in Nr. 1 behandelt wurde, entsteht also (bei 
passender Bestimmung der vorkommenden Konstanten) das Hy- 
perbelpolygon von Nr. 2; es muß folglich die Differentialgleichung 
vierter Ordnung (5) durch die Gleichung (6) auf die Differential- 
gleichung dritter Ordnung (3) zurückgeführt werden. Das ge- 
schieht in der Tat auf folgende Weise. 
In der t-Ebene sei 
y! yii y<ii 
71 = y , y. = also x' + «2 = — , 
dann wird: 
p = 271, q = y -\- 71, oder p' = 2 7i{y — ti), ti' = 7i{y — n), 
q' = y' 71 (y — ti), q“ = y“ ti (y- -p x') — 3x ti® -j- 2 ti®. 
Sei nun die linke Seite der Gleichung (3) mit P Z) be- 
zeichnet, so wird durch Einsetzen und Entwickeln nach Potenzen 
von 71 : 
P(^, Z) = x' -P X® — 3 Px — P' -f- 2 P® -P 3 TI (x — P) 
(7) =P(C,Z) + 3ti(x-P) 
und die linke Seite von (4) wird: 
JP(^ iiT) _2pp(^^ ^) = -2P-P(C,-^)+ 3TlP(t,.2r) 
(l Zl (i Z/ 
-P3ti®(P-x) 
oder, wenn wir die linke Seite kurz mit Q {s, Z) bezeichnen (so 
daß Q{z,Z) — 0 die Differentialgleichung für die Abbildung 
eines in der .e-PIbene gelegenen Kegelschnittpolygons ist): 
