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F. Linclemann 
Eine nochmalige Spiegelung an der Linie (18) führt den 
Punkt Z in die obere Halbebene zurück. Ist ln der Winkel der 
beiden Linien (15) und (17), so entsteht die erste Spiegelung durch 
ein Umklappen der Ebene um die Gerade (15), und analytisch 
durch Multiplikation von z (wenn z auf der Geraden (17) liegt) mit 
£ = bei weiterer Spiegelung an der Geraden (18) wird z 
nochmals mit e, im ganzen also mit multipliziert. Die Dif- 
ferentialgleichung (4) muß dabei ungeändert bleiben. In der 
Tat bleibt in (11) q ungeändert und in T = (^ — a) (z — 6), T' 
= 2z — (a -|- ^) werden die Integrationskonstanten a, b ersetzt 
durch aE~^, d. h. ein Integral der Gleichung (15) geht in 
ein anderes derselben Gleichung über. Der Wert z* muß dabei 
ebenfalls der Gleichung (4) genügen, was durch die Relation (11) 
bestätigt wird. 
Stößt die Gerade (15) in der betreffenden Ecke an einen 
Kegelschnitt cp {z, z^ = 0, so geht dieser bei der ersten Spiege- 
lung in einen kongruenten Kegelschnitt über, dessen Gleichung 
mittels der Substitution (16) in Variabein z*, z* aufgestellt wer- 
den kann. Sei dieselbe tp {z*, z*) = 0, so besteht nun die zweite 
Spiegelung (die in die obere Halbebene und zu einem Punkt z, z^ 
führt) darin, daß man aus den Gleichungen 
¥ ■ä'P = ^i) = 0 
und der Gleichung (16) die Größen z* und z* eliminiert, nach- 
dem in (16) z, z^ an Stelle von z, z^ geschrieben ist; ip^ soll dabei 
aus ip entstehen, indem man in den Koeffizienten i durch — i ersetzt. 
10. Kehren wir zu obigem Beispiel des Parabelpolygons 
zurück, das wir durch die Gleichung (6) auf ein Hyperbelpolygon 
der C-Ebene abgebildet hatten. Der Spiegelung an einer Hyperbel 
ln der C-Ebene entspricht also in der .e'-Ebene eine Spiegelung 
an einer der Hyperbel entsprechenden geraden Linie. Sei letztere 
durch die Gleichung 
(19) a(z z^) — iß{z — zJ-{-y = 0 
gegeben, so ist die zugehörige Hyperbel: 
(19 a) a (C^ + Cl}-iß{C-Cl)+y = 0. 
Einer zweiten geradlinigen Seite, die mit (19) in einer Ecke 
des Polygons zusammenstößt, nämlich 
