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über die isotherme Teilung. 
die ^ die 
dv 
du dv 
du = — rfoj, 
so daß das Integral II) übergeht in 
J {du + i dv) \z — i C 
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Aber der Integrand ist jetzt nichts anderes als 
duUu idv Uu — i duUv -\- dv U„ 
oder duU„ dv Ut i {du dvV^ = d{U i V). 
Ist nur ein isothermes Längenelement beliebig gegeben, so 
ist zwar E = V^; es handelt sich dann um die Bestim- 
mung von U und V. Es ist also die Bestimmung des Inte- 
grals II erforderlich, um die zugehörige Funktion a: 2/i 
zu finden. Allerdings kann man ja auch direkt aus E die beiden 
Bestandteile U und F ermitteln, dies führt aber gerade zu der- 
selben Formel II, weshalb dies hier nicht wiederholt werden soll. 
§ IV. 
Es ist vielleicht nicht unpassend, einige Beispiele anzuführen. 
In den einfachsten Fällen (Polarkoordinaten, rationale ganze Funk- 
tionen etc.) macht die Berechnung des Integrals in § III keine 
Schwierigkeit. Ist z. B. 
I) (2M-fl)» -t- 4^;^ e = V{2u -\-\y 4:v\ 
so wird 
die , dl e ^ , 
dv du = d arctg 
du dv ° 
f— )• 
\2 u -f- 1 j 
Setzt man nun 
2v = psina), 2u 1 — q cos oj , 
so wird 
X + yi = J (cos o) -\- i siTi (o) Q {du i dv) const. 
oder für c = 0 
X yi = {u -Y i vy {u iv). 
II) Nimmt man s = sin {u -p iv), so wird 
dz = cos {u -\- iv) {du i dv), 
dz = cos {u — iv) {du — idv), 
e = '/2 ye-" -j- e~ 2 ti _j_ 2 cos 2u = V 2 /l. 
