Die Flächen mit gegebener Form des Linienelementes. 
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cofcg CO- 
_ - (co„ Fß+U)ß F'a) 
2snr CO ^ ' 
1 
sin^ CO 
djgü 
dß 
dlgü\ 
3a )- 
Es ist dies eine p artielle Gleichung erster Ordnung 
für ü, wenn F und co gegeben sind; sie ersetzt die Glei- 
chung (8), da man /I aus Q berechnen kann. Durch Vertauschung 
von i mit — i ergibt sich eine entsprechende Gleichung für ü', 
nämlich : 
( 20 ) 
i^ö/jainco-cosco — ^{FaCOß + FßO)a) = coß 
algß' 
da 
— co„ 
aigß- 
dß • 
4. Sind F und co gegeben und ist l eine Lösung von ( 8 ), 
so ist die allgemeine Lösung durch X -\- qp{a)) gegeben, wenn cp 
eine willkürliche Funktion bezeichnet. Zu jeder Lösung X q) (co) 
gehört ein Wert lg ü x{(o), und aus (10) ergibt sich: 
( 21 ) 9 ?' (co) tg co = (co) . 
Da der imaginäre Teil von X gleich co sein soll, so muß 9 ? 
stets eine reelle Funktion von co bezeichnen; es sei co = iq, und 
(p{(o) = y>{q), X (") = fi^) + ifi (2)> 
= —xp‘iq)-i, x'ico) = —if'{q) + f‘i{q). 
Ändert sich lg Q additiv um x (öj)) so verwandelt sich lg ü‘ 
in lg f{q) — ifiii) und es wird nach (13): 
— iy>‘ (q) tgco = (— f (?) -f if[ (?)) (— i) = f[ (?) + if‘{q), 
dagegen nach ( 21 ): 
— ixp'{q)igco = (f'iq) + if{ (?)) (— i) = f{{q) — if'iq), 
folglich f‘ (q) = 0. Nun ist nach (16) lg ß -j- lg ß' eine fest 
gegebene Funktion von co, es muß also f(q) if^ (?) -f- /"(?) — i/i (?) 
= 2 /■(?) = 0 sein. 
Zu einem gegebenen Werte von co gehören so unendlich viele 
von einer willkürlichen Funktion y}(q) abhängige Werte von X. 
Ist aber X gegeben, so gehören zu jedem X unendlich viele 
Werte von co, die von einer willkürlichen Funktion f{p) abhängen, 
wenn X = p co gesetzt wird. Wächst tg co um f (p), so wächst 
lg ß um g{p), lg ^3' um g^ip), wobei zufolge (10) und (13): 
(22) fijy) = g' (p) , /’, (p) = — g[ (p) , 
wenn zu f, g^ zu g konjugiert ist, und nach (16): 
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