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Die Flächen mit gegebener Form des Linienelementes. 
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V 
[j 
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Aus der zweiten Gleichung wird aus der ersten sodann 
r' = lg r gefunden, je durch eine partielle Gleichung erster Ordnung. 
Durch die beiden Gleichungen (55) findet man also alle 
(von zwei willkürlichen Funktionen abhängigen) Bie- 
gungsflächen der gegebenen Fläche (1). 
Daß die so gefundene Funktion ; der Differentialgleichung (7) 
oder (37) genügt, erkennt man in folgender Weise. Es ist nach 
(47), (41) und (53): 
Caa Caß n /IO 'T I i ^^aß 
^ _ 2a,.« + 2SS.I’ + 
w 
w 
= <I>aT — XJ + wenn^==tg£ü, ir= tg3B, 
ebenso: 2" Mß^ X ferner: 
Cß ^ ß 
Fa Waa , C) f ^^aa -j j. F ß 
Sei also zur Abkürzung : 
Wßß 
y^ß 
-f- /ißt. 
Waa 
Wa 
-IJ, ^ = 
ßß 
w. 
+ /ißt, 
so wird die linke Seite der Gleichung (37): 
(® + ^>„T) {ß^-WßT)-®{S^-WßT)-^{®-Y^aT) 
+ ® § - 5> = -^aFßT^-ßf- = (Hiß Wa - Wa Wß) T\ 
4 « C« Qß 
und denselben Wert nimmt die rechte Seite an, analog wie oben 
bei Gleichung (37) in Nr. 6. 
10. Als Beispiel betrachten wir die Biegungsflächen der 
Rotationsflächen. Ist eine Rotationsfläche durch die Gleichungen 
x = F^{a—ß)‘C,os{a-\-ß), iJ = F^{a-ß)-sin{a-\-ß), s = W{a—ß), 
+ F\XFV^ = Q 
dargestellt, so ist (A — /x = 2 co) für die gegebene Fläche 
/ _ 0 _F^-\-F,F[ , _F\^ — F,F\ 
H f\-\-F\^' F\XF['^ ' 
F = 2 cos® CO • Wa Wß = 2 F\ = xp{a — ß), 
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