Die Flächen mit gegebener Form des Linienelementes. 
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Hier ist l — /t rein imaginär, ebenso a — /?; also ist § 
eine reelle Funktion von a — /?, §2 %i konjugiert imaginär. 
Zwischen den vier Funktionen §, und bestehen die beiden 
Gleichungen (56 a) und (58), so dah % durch tp^ bestimmt ist und der 
imaginäre Teil von gemäh (58) sich aus § und y>^ berechnet, 
während der reelle Teil von (und § 2 ) willkürlich bleibt. 
Endlich findet man W aus (2) durch Quadratur: 
(59) ^gW„ = ^ Xßtgco dß = — i [%'(a — ß)^ a 
+ 51 (« - ß)l tg — ß)-dß -)r G> 
wo C noch eine Funktion von a sein kann; ebenso 
(60) \gWß = — ^ fiaigoi da = — ^ {a — ß) - ß 
+ §2 (a — /5)] tgr/^, (a - ß)‘ da + C\ 
wo C" noch von ß abhängen kann. 
Daß die Gleichung (6), d. h. yi{a — /?) = 2 TFa cos- co 
durch die Werte (59) und (60) tatsächlich erfüllt wird, erkennt 
man in folgender Weise : es ist 
lg = a J g'(a — ß) ■ tg v^i • d{a — ß) 
+ /SKa — — ß)^ 
\gWß = — ß S %‘{a — ß) tg V-, -difi— ß) 
— S ^ 2 (a — ^) • tg • d(a — ß), 
also : lg Wa Wß = {a — ß)^J^-\- J^, 
und hierin durch partielle Integration unter Benutzung von (56 a): 
= 5(« - • tg Vb - J S d{a-ß) = %-tgxp^ - 
J 2 = (r5i - S2) • tg - J* (§, - ^2 d{a-ß) 
= (5i - S2) tg V’, - J (2 - (a - ^) %) d(a-ß) 
CUo U'i 
= ( 5 i-S 2 )tg -2 tgy’^+2jxpl tgyj, d{a-ß)+j{a-ß) ^j^d (a-ß) 
= (5i - S 2 ) tg Vb - 2 V'i tg V, - 2 lg cos V’, + (a - ß) i^-ß)- 
Das letzte Glied der rechten Seite ist gleich logi^; und 
somit wird in der Tat: log F ~\g {2 Wa Wß cos^yj) bei passender 
Bestimmung der Integrationskonstanten. 
