( 468 ) 
De daaruit ontstaande eoiigruentie (2,2) behoort alzoo tot die coil- 
gruentiën, die geen focaai oppervlak bezitten, maar een singuliere of 
dubbelkromme^), meetkundige plaats der eerste reeks brandpunten 
van de congruentie. 
6. Men kan de congruentie in haar geheel construeeren uit punten 
der kegelsnede ; deze punten toch hebben de eigenschap, niet 
slechts de snijpunten te zijn van twee, maar van een geheelen bundel 
stralen der congruentie (2,2), gelegen in de nulvlakken bij elk der 
pnnten behoorende. Deze nulvlakken omhullen een kAvadratisch 
kegelvlak welks top P is, en de stralen der congruentie moeten 
dus raaklijnen aan dit 'kegelvlak zijn. Hieruit, leidt men de volgende 
constructie af : 
Men neme een punt A op /v^ trekke den mdstraal PA, die IP 
ten tweeden male in A snijdt. Door PA legge men de beide raak- 
vlakken aan elk dezer raakvlakken bewat een bnndel congruentie- 
stralen, de top van den eenen bundel is A, die van den anderen A. 
7. We laten nu eenige oogenblikkelijk zichtbare eigenschappen 
der congruentie (2,2) volgen. 
a. De beide brandpunten A^an eiken straal zijn het snijpunt met 
JP en het raakpunt met P'\ Het punten-focaalopperAdak Avordt P^ 
het raakvlakken-focaaloppervlak bestaat uit de raakvlakken van IP. 
b. Alle stralen der congruentie (2,2), die tot een stralencongruentie 
(1,1) van A belmoren, snijden tAvee toegevoegde poollijnen van A, 
en daar zij tevens JP^ snijden, vormen zij een regelvlak A^an den 
vierden graad met een dubbelkegelsnede en tAAme dubbelrecliten. 
c. De stralen der congruentie (2,2), die op een hyperboloïde van 
A liggen, gaan door de snijpunten van deze met IP, zijn alzoo ten 
getale van vier. 
(L Zij IP bestaanbaar en P binnen IP gelegen; alle nulstralen 
door het punt P, nulpunt van vlak PRS, snijden nu IP^ ; alle stralen- 
bundels zijn alzoo bestaanbaar; ligt P buiten IP, dan kan men tAvee 
raaklijnen uit P aan IP trekken, deze raaklijnen zijn de snijlijnen 
van het kegelvlak P^ met vlak PRS. De vlakken, die P'^ Amlgens 
deze snijlijnen raken, zijn nulvlakken, AA^aarin tAvee stralenbundels 
zijn samengevallen; stralen door P, die IP niet snijden, geven aan- 
leiding tot imaginaire stralenbundels der congruentie (2,2). Verder 
volgt uit deze redeneering: 
1) Gongruentiën van dit type Avorden in den Grondslag van het bibliographisch 
Repertorium der wiskunde gerangschikt onder N”lex en door R. Sturm in een 
afzonderlijke afdeeling geplaatst; zie ^Liniengeometrie II, p. 323. 
