( 470 ) 
üi' zijn dus voor liezen stand twee l)estaanbare klempnnten op 
liiernit volgt: 
Als P hniten K'^ ligt, bezit een gedeelte, dat als dubbellijn 
optreedt en een gedeelte, dat geïsoleerd is; twee klempnnten scheiden 
deze twee deelen. 
h. Zij P binnen JP gelegen. Alle nnlstralen door P snijden IP ■, 
er zijn geen raaklijnen aan IP, dus ook geen klempnnten op p^. 
De dubbellijn p^ is alzoo over haar gelieele lengte werkelijk dubbellijn. 
Behalve de klempnnten op bezit ook klempnnten op Xjk 
Om deze op te sporen, honde men eerst in het oog, dat de punten 
O]) de beelden zijn van de nulstralenbnndels, welker toppen op 
XX' EE X gelegen zijn, en die zich dus bevinden in vlakken door 
X. Zij nu 7 een vlak door x gelegd en C zijn nulpunt; de stralen- 
bundel (Cy) bezit twee stralen, die IP snijden, t. w. de beide ver- 
bindingsstralen van C met de snijpunten B en B' van y en IP. 
Deze twee stralen hebben tot beeld in een enkel punt B^ van 
A\k Nu belioort CB nog tot een anderen nulstralenbundel, t. w. tot 
den bundel, welks top B en welks vlak het vlak CBPPz^ is. Deze 
laatste bundel behoort tot de congruenlie (2,2) en heeft alzoo tot 
beeld een rechte door B^ en op Zt^'' gelegen. Op overeenkomstige 
wijze blijkt, dat ook een tweede redde van KI door gaat en 
wel die, welke het beeld is van den stralenbundel (Zi'd') gelegen in 
vlak CB' P. Nu kuimen zich weder twee hoofdgevallen voordoen. 
a. X snijdt het vlak PRS in een punt T buiten IP. De 
stralenbundel T in dit vlak gelegen, bezit stralen, die K'^ in twee 
punten snijden, die /v ^ raken, of wel die t\vee imaginaire punten 
met gemeen hebben. In dit geval zijn er gedeelten van A'^^ Avaaruit 
twee beschrijvende rechten Amn KI gaaii, die dus als punten eener 
dubbelkromme te beschouAven zijn en gedeelten die geïsoleerd zijn; 
den overgang vormen de beide klempnnten, Avaaruit twee samen- 
A^allende beschrijvende rechten gaan; en deze laatste zijn de beelden 
der beide stralenbundels, die hun toppen hebben op de raaklijnen 
uit T aan IP getrokken. 
J). Het bovengenoemde snijpunt T ligt binnen A\k Alle stralen 
door T snijden ZvA nh elk punt Amn Xl gaan tAvee beschrijvende 
rechten, alzoo is de gelieele kegelsnede A\^ dubbelkromme. 
10. Onder de bijzondere doorsneden Amn Ki komen nog in aan- 
merking de kegelsneden-doorsneden. Deze kegelsneden hebben tAvee 
punten met XI gemeen, daarmede moeten dus in overeenkomen 
hjjierboloïdische stelsels nnlstralen (3) Amn A ; deze kunnen nu oj) 
de navolgende AAdjze geconstrueerd AAmrden : 
