( 471 ) 
Men iiènie weder een pnnt A op K‘\ bepale zijn nnlvlak a, 
benevens het tweede snijpnnt A' van « niet /v® en het nnlvlak a' 
A'an A' . Trekt men nn in a' door A een bnndel stralen (welke dns 
geen nnlstralen zijn) en eveneens door A' in a, dan bestaan de 
bundels [A, a'), {A',t() nit toegevoegde poolstralen van d ; zij worden 
door de nnlstralen in projectief i’erband gebracht. Elk paar toegevoegde 
poolstralen doet nn in verband met AV een hvperboloïdisch nnl- 
stralenstelsel ontstaan. Deze beide bundels doen ze tevens alle ontstaan, 
zoodat hnn aantal x is. 
11. Eindelijk zijn er eenige bijzondere gevallen op te merken. 
a. De snijlijn ,r snijdt het vlak FRS in een pnnt der raaklijn 
PR. De nnlstralenbnndel in het vlak XX' PR heeft tot top dit snij- 
2 mnt; met dezen bundel komt een klempimt op A'j^ overeen, maar 
deze stralenbundel heeft tevens een straal gemeen met den bnndel 
in het nnlvlak van het pnnt R, het gevondene klempimt is dns 
gelijktijdig een pnnt van hieruit volgt dat in het snijpnnt van 
AV^ en twee klempnnten zich vereenigd hebben en dns nit dit 
])nnt slechts een enkele beschrijvende rechte van R^^ te trekken is. 
h. Toepassing op de beweging van een onveranderlijk stelsel. In 
dit ge^'al is IP imaginair (de imaginaire cirkel in liet oneindig ver 
verwijderde vlak) de congruentie (2,2) bestaat dns geheel en al nit 
imaginaire stralen. De stralenbundel P/PRS blijft evenwel reëel ; 
alzoo wordt de afbeelding in een imaginair regelvlak R^'^ met 
reëele dubbelkromme, bestaande nit een rechte en een haar snijdende 
kegelsnede. Men kan dezelfde opmerking maken bij andere gevallen, 
Avaarbij imaginair wordt. 
r. Nog ontstaat een bijzonder geval, Avanneer de straal XX' ~ x 
zoo gekozen wordt, dat hij de kegelsnede snijdt; daarmede 
verandert het karakter der congruentie niet, maar wel hare afbeelding. 
Wanneer men nn een stralenbundel in een door ir, gebracht vlak 
beschouwt, dan blijkt het, dat steeds een van de beide naar gaande 
congrnentiestralen met x zal samen \’-allen. Van de beide stralen, die 
in de dnbbelrechte snijden valt er nn slechts een langs het 
oijpervlak de andere gaat over in een straal in gelegen ; 
liieruit volgt : 
Wanneer de nulstraal x de kegelsnede snijdt, scheidt zich het 
vlak Ij af van het regelvlak dat dns in een cnbisch regelvlak 
/ij® overgaat met jA dnbbelrechte, dit geeft dus een eenvoudiger 
afbeelding A'an de congruentie (2,2). 
