( 78  ) 
die  de  potentiaaleigenschap  heeft,  d.  w.  z.  die  in  ’t  oneindige  O wordt. 
Nu  geldt  voor  twee  scalardistributies  het  theorema  van  Green  (vgl. 
Fresdorf  diss.  Göttingen  1873) : 
^ S \grad.  grad.  • 
tp  'y  . dx 
Worden  nu  in  ’t  oneindige  y en  tp  beide  0,  terwijl  tevens 
lim.  (pxp  e-'"  = 0,  dan  vallen,  als  we  het  theorema  van  Green  toepassen 
voor  een  bol  met  oneindigen  straal,  de  oppervlakte-integralen  weg, 
en  we  houden : 
ƒ 
(p  . xp  .dt=  I tp  . y * y . dr, 
ƒ' 
geïntegreerd  over  de  geheele  ruimte. 
Nemen  we  nu  voor  <p  een  willekeurige  potentiaalfunctie,  en  voor 
tp : — 1 + coth  r,  waarin  r den  afstand  voorstelt  tot  een  willekeurig 
gekozen  punt  P,  dan  voldoen  deze  functies  aan  de  voorwaarden 
van  verdwijnen  in  ’t  oneindige  en  lim.  <pxp  — 0,  zoodat  we  hebben  : 
4^  . = ( ( 
1 -f-  coth  r)sj^<p  . dx. 
Stellen  we  dus  — 1 -j-  coth  r = F^{r),  dan  hebben  we : 
U = (/) 
VI.  We  zien  nu,  dat  er  geen  vectordistributie  met  de  veldeigen- 
schap  bestaat,  die  in  ’t  eindige  nergens  rotatie  en  nergens  divergentie 
heeft.  Immers  zulk  een  vectordistributie  zou,  daar  ze  nergens  rotatie 
heeft,  een  potentiaal  moeten  hebben,  maar  die  potentiaal  zou  volgens 
de  formule  (7)  overal  0 moeten  zijn,  dus  ook  haar  afgeleide  vector. 
En  hieruit  volgt,  dat  een  vectorveld  eenduidig  is  bepaald  door  haar 
rotatie  en  haar  divergentie. 
VII,  Kunnen  we  dus  elementairdistributies  van  divergentie  en  van 
rotatie  aangeven,  dan  zijn  de  daarbij  behoorende  vectorvelden  elemen- 
tairvelden,  d.  w.  z.  het  willekeurige  vectorveld  is  een  willekeurige 
ruimte-integraal  van  zulke  velden. 
Voor  die  elementairvelden  wordt  zoo  analoog  als  in  een  Euclidische 
ruimte  (zie  Verslagen  Mei  1906  p.  22  en  vlgg.)  gevonden: 
1®.  een  veld  E^,  waarvan  de  tweede  afgeleide  bestaat  uit  twee  gelijke 
en  tegengestelde  scalarwaarden  vlak  bij  elkaar. 
