( 86  ) 
’t  oneindige  van  Rn  zou  geven.  Voor  7z  ^ 3 woi’den  dus  door  de 
veldeigenschap  alleen  vectordistributies  uitgesloten,  die  geen  physische 
beteekenis  kunnen  hebben. 
Voor  n = 2 echter  mist  het  postulaat  dat  recht  van  bestaan ; meer 
zin  nog  heeft  de  eisch  (voor  2,  met  de  veldeigenschap  gelijk- 
waardig), dat  voor  gegeven  rotatie  en  divergentie  de  vectordistributie 
een  minimum-energie  moet  hebben.  Onder  deze  voor  waarden  gaan 
we  dus  het  veld  nog  op  nieuw  na  en  zullen  hier  ook  de  dualiteit 
naar  beide  afgeleiden  en  beide  potentialen  terugvinden. 
IX.  Beschouwen  we  vooreerst  distributies  met  alleen  divergentie, 
en  zoeken  Ave  de  potentiaalfunctie,  die  bij  gegeven  v'*  ssn  minimum- 
energie  geeft. 
We  beschouwen  de  hyperbolische  als  conforme  afbeelding  van 
dat  gedeelte  van  een  Euclidische  R^,  dat  door  een  cirkel  wordt  be- 
grensd; brengen  we  dan  in  overeenkomstige  punten  der  afbeelding 
dezelfde  potentiaal  aan,  dan  blijven  in  overeenkomstige  vlakelementen 
gelijke  energieën  en  gelijke  divergenties.  Het  vraagstuk  wordt  dus : 
Welke  potentiaal  geeft  binnen  een  gegeven  kromme  (in  casu  een 
cirkel)  in  de  Euclidische  R^  onder  gegeven  divergentiedistributie  een 
minimum-energie  ? 
Hiervoor  hebben  we  volgens  het  theorema  van  Green: 
/èu\^  döu  r b.óu  r o 
— j dr  = I . dr  = I u . — — . dO  — I u óu  , dr , 
zoodat,  daar  overal  binnen  de  grenskromme  0 is,  de  noodige 
en  voldoende  voorAvaarde  voor  het  wegvallen  van  de  variatie  der 
energie  is : 
u — O langs  de  grenskromme. 
Voor  de  algemeene  vectordistributie  met  alleen  divergentie  in  de 
hyperbolische  R.^  vinden  we  dus  ook  onder  de  voorwaarde  van 
minimum-energie,  dat  de  potentiaal  in  ’t  oneindige  0 moet  zijn.  We 
vinden  haar  dus  juist  als  onder  het  postulaat  van  de  veldeigenschap, 
cos  <p 
samengesteld  uit  velden  afgeleid  van  een  potentiaal  — — . 
sh  r 
De  krachtlijnen  van  dit  veld  Ei  hebben  de  vergelijking 
sin  <p  coth  r = c. 
Slechts  een  deel  van  de  krachtlijnen  (in  het  Euclidische  vlak  alle) 
keert  hier  in  zichzelf  terug ; de  andere  gaan  naar  ’t  oneindige.  De 
aequipotentiaallijnen  echter  gaan  geen  Amn  alle  naar  ’t  oneindige;  ze 
