( 87  ) 
zijn  in  ’t  eindige  gesloten,  en  worden  alle  omsloten  door  den  cirkel 
in  ’t  oneindige  als  niveau  van  0-potentiaal. 
Zoo  ook  voor  de  willekeurige  van  de  krachtlijnen  gaat  een 
deel  naar  ’t  oneindige ; de  potentiaalniveau’s  echter  zijn  in  ’t  eindige 
gesloten. 
X.  Zoeken  we  nu  het  veld  met  alleen  rotatie,  dat  voor  gegeven 
rotatiedistributie  een  minimumenergie  geeft,  dan  volgt  uit  een  be- 
schouwing van  de  rotatie  als  divergentie  van  den  normaal  vector,  dat 
de  scalarwaarde  van  de  planivectorpotentiaal  in  ’t  oneindige  0 moet 
zijn;  en  de  algemeene  IX  is  samengesteld  uit  velden  ^%6^6id  van 
sin  (f 
een  planivectorpotentiaal  — — (terwijl  we  onder  het  postulaat  van  de' 
sh  r 
veldeigen schap  vonden  sin  rp  cothr). 
In  tegenstelling  met  hoogere  hyperbolische  ruimten  en  met  alle 
Euclidische  en  elliptische  ruimten,  zijn  hier  de  velden  en  niet 
te  sommeeren  tot  een  enkelen  geïsoleerden  vector. 
Voor  dit  veld  E^  en  evenzoo  voor  de  willekeurige  \X  zijn  de 
krachtlijnen  (tevens  planivectorpotentiaalniveau’s)  in  ’t  eindige  ge- 
sloten krommen. 
XI.  We  hebben  nu  gevonden : 
2jr 
I coth  \t  dx 
X = 
= j "k- 
I coth  i r dr. 
En  hieruit  volgt,  dat  ook  de  algemeene  vectordistributie  X,  die 
voor  gegeven  rotatie  en  divergentie  een  miniraum-energie  heeft,  is 
gelijk  aan: 
Xdiv.  + Xrot.  = W “2^  ^ dr  -f  \V 
2ijt 
I coth  \ r dr. 
Immers  zij  V een  willekeurige  distributie  zonder  divergentie  en 
zonder  rotatie  in  ’t  eindige,  dan  is  zij  afgeleid  van  een  scalarpoten- 
tiaalfunctie,  dus  heeft  zij  (volgens  § VIII)  geen  wederkeerige  energie 
met  Xdiv.\  en  evenmin  (daar  volgens  § IX  alle  krachtlijnen  van 
in  ’t  eindige  gesloten  krommen  zijn,  en  een  flux  van  uitsluitend 
gesloten  vectorbuizen  geen  wederkeerige  energie  heeft  met  een  gra- 
