( 636  ) 
De  (n — lydiniensionale  aanrakingsvariëteit  van  een  oo^  stelsel  van 
{ii — lydimensionale  variëteiten,  waarvan  er  ii  door  een  gegeven  pimt 
gaan  en  v een  gegeven  rechte  aanraken,  en  een  oo”— i stelsel  van 
krommen,  ivaarvan  er  (p  door  een  gegeven  punt  gaan  en  if;  een  gegeven 
ruimte  in  een  punt  van  een  gegeven  rechte  dier  ruimte  aanraken, 
is  van  den  graad 
[lip  v(p  y-  [i(p. 
3.  Met  behulp  van  dit  resultaat  laat  zich  gemakkelijk  de  graad  der 
aanrakingsvariëteit  (meetkundige  plaats  der  punten  met  gemeen- 
schappelijke raaklijn)  van  n enkelvoudig  oneindige  stelsels  (ui, 
(/Ltj,  Vj),  . . . . , {nni  Vn)  van  (n — l)-dimensionale  variëteiten  bepalen. 
Deze  graad  is 
fij  fij  . . . f/.n  j y- h • • • "T r 1 ) » 
fij  Hn 
zooals  zich  door  volledige  inductie  laat  aantoonen.  De  formule  is 
juist  voor  n = 2.  We  nemen  nu  de  juistheid  der  formule  aan  voor 
n = i en  hebben  daaruit  de  juistheid  aan  te  toonen  voor  ^ -f- 1. 
De  aanrakingsvariëteit  voor  i-\-l  stelsels  in  + * is  de  aan- 
rakingsvariëteit van  het  variëteitenstelsel  (ftj,  Vj)  en  het  krommen- 
stelsel, dat  gevormd  wordt  door  de  doorsneden  der  i overige  varië- 
teitenstelsels. Men  heeft  dan  : 
f V ^ (p  fig 
De  raakpunten  van  de  krommen  van  het  stelsel  met  een  gegeven 
ruimte  vormen  de  (z — l)-dimensionale  aanrakingsvariëteit  der 
doorsneden  van  met  de  stelsels  (fi^,  rj,  r,),  . . . . , 
deze  doorsneden  zijn  eveneens  stelsels  (fx,,  vj r{-|_i),  maar 
van  (z — l)-dimensionale  variëteiten.  De  genoemde  aanrakingsvariëteit 
is  volgens  de  onderstelling  van  den  graad 
IX,  IX, 
fii+i 
+ ï 
1 
Daar  de  snijpunten  dier  aanrakingsvariëteit  met  een  rechte  / van 
R‘  de  punten  van  I zijn,  waar  R‘  door  krommen  van  het  stelsel 
wordt  aangeraakt,  zoo  heeft  men : 
tp  = fX,lX,  . . . fXi-^] 
H b ^ 
Volgens  de  formule  fxxp  + ry  -f  wordt  dus  de  graad  der  z- 
dimensionale  aanrakingsvariëteit  der  z -f-  1 variëteitenstelsèls 
fX,  IX, 
gi+i 
(-  + - 
\fX,  IX, 
+ • • • 
I’t-Pl 
+ i 
