( 212  ) 
voor  iQ  de  vergelijking 
Is  (7=0,  dan  verandert  (1)  niet,  als  men  x door  — x vervangt; 
men  heeft  dan  een  symmetrisclien  complex. 
De  stralencoördinaten 
q^  = u — u'  , g^  = v — v'  , g^r=io  — w'  , 
g^  = vw'  — wv'  , g^  =:  ivu'  — uw'  , g^  — uv'  — vu'  , 
waar  u,  v w de  coördinaten  van  een  vlak  voorstellen,  zijn  met 
de  coördinaten  p verbonden  door  de  bekende  betrekkingen 
Pi  ' ?4  =Pa  ■ =Pii : ?2  —P,  ‘ 9Z‘ 
Dus  kan  £2  ook  voorgesteld  worden  door 
— 9i9s)=^  • • (2) 
Deze  vergelijking  ontstaat  uit  (1)  door  verwisseling  van  pk  met  qk, 
en  van  A,  B,  C,  D,  E,  F met  E,  D,  C,  B,  A,  — F. 
§ 2.  De  complexkegel  van  het  punt  (x',  y',  z')  heeft  tot  vergelijking 
A{x—x'y-^A{y  — y'y-^B{z  — z'y-{-2C{y'x—x'y){z  — z')-{-D{y'x—x'yyA- 
E (z' y-y' zy E {z' x-x' zy -\-2F {w - w')(w' z-z' x) -\-2F{y — y'){y'z-z'y)=0.  (3) 
Om  de  vegelijking  van  het  singuliere  oppervlak  te  vinden,  be- 
schouwen we  de  complexkegels,  waarvan  de  toppen  in  XOZ  liggen, 
en  schrijven  de  voorwaarde  neer  welke  uitdrukt  dat  de  doorsnede 
van  zulk  een  kegel  met  XOY  m twee  rechten  ontaardt.  Na  afzon- 
dering A^an  den  te  verwerpen  factor  z'^,  en  vervanging  van  x'^  door 
x'^  verkrijgt  men  de  vergelijking 
D{AE  - F^)  F + {AE  X BD  — — F^)  F {Ez^  — 2Fz  + ^)  + 
-yB{Ez^  — 2Fz-FAy=0 (4) 
Daar  deze  ontbonden  kan  av orden  in  twee  factoren  van  den  vorm 
LF  -j-  31  {Ez'^  — ‘IFz  -|-  A),  bestaat  het  singuliere  oppervlak  2 uit  twee 
quadratische  omioentelingsoppervlakken. 
Deze  raken  elkaar  in  de  cyclische  punten  /j  en  van  het  vlak 
XOY  en  in  de  punten  B,  en  B„  op  OZ,  die  bepaald  worden  door 
Ez^  — 2Fz  X A = 0. 
De  beide  oppervlakken  snijden  elkaar  volgens  de  vier  isotrope 
rechten,  Avelke  door  de  vergelijkingen 
x"^  X — ^ FA  — 2Fz  7-  = 0 . . . . (5) 
worden  aangeAvezen. 
Is  £2  symmetrisch  {C  = 0),  dan  hebben  de  beide  deelen  van  het 
singuliere  oppervlak  tot  vergelijkingen 
{AE  — F^)  (x^  + if)  + B {Ez^  — 2Fz  -f  ^)  = 0,  . . (6) 
D {x^  -f  7f)  + Ez^  — 2Fz  -f  ^ = 0 . . . . (7) 
Heeft  men  B = 0 en  D = 0,  dan  ontaardt  JS’  in  de  vier  vlakken 
(5),  en  is  £i  een  bijzondere  tetraedrale  complex. 
