( 213  ) 
Uit  (3)  wordt  gemakkelijk  gevonden  dat  de  complexkegels  der 
punten  en  in  dubbel  te  tellen  stralenbundels  ontaarden. 
Deze  punten  zullen  hisingulier  genoemd  worden. 
§ 3.  De  complexstralen,  die  op  een  rechte  I rusten,  raken  aan 
een  oppervlak,  dat  de  meetkundige  plaats  is  van  de  toppen  der 
complexkegels  welke  door  I worden  aangeraakt.  Dit  axiale  oppeyaüah 
is  in  het  algemeen  van  den  vierden  graad  en  de  vierde  klasse,  en 
bezit  acht  dubbelpunten  ^). 
Wij  zullen  het  axiale  oppervlak  van  OZ  bepalen.  De  snijpunten 
(0,  0,  z')  van  een  willekeurigen  complexkegel  met  OZ  worden  aan- 
gewezen door  de  vergelijking 
[_E{x^  + y^)  + 5]  - 2 [_F  {x^  + y^)  + Bz\  £ + {x^  + y^)  -f-  = 0. 
Deze  heeft  twee  gelijke  wortels,  als  voldaan  is  aan 
\{AE  — F^)  (x^  y^)  -\-  B {Ez^  — 2 Fz  A)}  {x^  + = 0 . (8) 
Het  axiale  oppervlak  van  OZ  bestaat  dus  uit  de  tAvee  isotrope 
vlakken  doOr  de  as  en  een  quadratisch  omAventelingsoppervlak,  dat 
men  het  meridiaanoppervlah  zou  kunnen  noemen.  Is  symmetrisch, 
dan  maakt  het,  zooals  uit  (6)  blijkt,  deel  uit  van  het  singuliere 
oppervlak. 
Ook  het  axiale  oppervlak  der  oneindig  ver  in  XOY  gelegen  rechte 
/co  ontaardt  in  twee  vlakken  en  een  quadratisch  oppervlak.  Men 
vindt  zijn  vergelijking  het  gemakkelijkst  door  de  beschouwing  van 
de  complexstralen  loodrecht  op  XOZ.  Uit  x — x\  z = z'  volgt 
= 0,  Pj  = 0,  p^  = zp^,  ps  =r=  0,  p^  = — xp^.  Door  substitutie  in 
(1)  vindt  men 
(A  + Dx^  X Ez^  — 2 Fz) pP  — 0, 
en  hieruit  voor  het  bedoelde  oppervlak 
D (x^  X y^)  + Ez^  — 2 Fz  A = 0 . . . . (9) 
Voor  den  symmetrischen  complex  is  dit  paralleloppervlak,  blijkens 
(7),  het  tweede  blad  van  het  singuliere  oppervlak. 
De  vlakken  der  stralenbundels  van  de  bisinguliere  punten  B^ 
vormen  het  ontbrekende  bestanddeel  van  het  axiale  oppervlak  van 
/oo.  Men  kan  dit  aantoonen  door  de  vergelijking  te  bepalen  van  het 
axiale  oppervlak  der  rechte  z'  = 0,  y'  — h,  en  daarin  b =■  co  te 
stellen.  Men  vindt  dan 
(Ez^  - 2 Fz  X X){D  {x^  X y^)  + Ez^  — 2 Fz  X = ^ • (10) 
Het  meridiaanoppervlah,  het  paralleloppervlah  en  de  beide  deelen 
’)  Sturm,  Liniengeometrie  III,  p.  3 en  6. 
