( 215  ) 
De  vergelijking  , 
«1  Z/  = /? 
levert  een  complex  Q,  met  de  vergelijking 
{(«1  + {Px^  + P2')  ” + («1  + «2)  {Pi"  + + P,")  + 
+ 2 («,  — «5)c(piP5  — = 0 (19) 
Deze  symmetrische  complex  is  zeer  uitvoerig,  en  op  elementaire 
wijze,  behandeld  door  J.  Neuberg  ( Wiskundige  Opgaven,  IX,  p.  334 — 
341,  en  Annaes  da  Academia  Polytechnica  do  Porto,!,  p.  1^1 — 150). 
Het  bijzondere  geval  «,  Z,  + «„  L = 0 beschouwde  F.  Corin  (Mathesis, 
IV,  pp.  177—179,  241—243). 
Voor  = Zj  vindt  men  eenvoudig 
PiV,~P^P,  = ^ (20) 
Deze  complex  bevat  de  stralen,  die  evenver  van  twee  vaste  punten 
verwijderd  zijn.  Daar  c niet  in  de  vergelijking  voorkomt,  kunnen 
de  vaste  punten  vervangen  worden  door  elk  tweetal  punten  op  de 
as,  die  O tot  midden  hebben. 
§ 5.  Bij  een  verplaatsing  in  de  richting  van  OZ  veranderen  de 
stralencoördinaten  pi,  Pa,  Ps  en  p^  niet,  terwijl  men  heeft 
P4  = P4  + eii  Ps  = P5  — 
dus 
P1P4  + P2P5  =PlP4  +P2P6- 
De  vormen  (p/  + pd)  en  (p^  p^  — p^  pd  zijn  nu  niet  invariant. 
Wanneer,  in  de  vergelijking  (1)  van  den  complex  SI,  de  coëffi- 
ciënten E F nul  zijn,  dan  wordt  Si  dus  in  zich  zelf  verplaatst 
door  elke  schroefbeweging  met  as  OZ.  De  complex  kan  dan  heli- 
coïdaal  genoemd  worden. 
Het  singuliere  oppervlak  heeft  nu  tot  vergelijking 
{BD  — Cd{oo^  P yd  P = (21) 
het  bestaat  derhalve  uit  een  omwentelingscylinder  en  het  dubbel 
gelegde  vlak  in  het  oneindige. 
§ 6.  Door  homographische  vervorming  kan  de  complex  Si  omgezet 
worden  in  een  quadratischen  complex  met  vier  bestaanbare  bisingu- 
liere  punten. 
Neemt  men  deze  tot  hoekpunten  van  een  coördinatenviervlak 
OyO^O^O^,  dan  is  het  niet  moeielijk  aan  te  toonen  dat  de  vergelij- 
king van  zulk  een  complex  dezen  vorm  heelt : 
^P%2  + B P%4  + 2 Cp^.,p^,  4-  2 Dp^^p^^  -f  2 Ep,,p,,  = 0.  (22) 
h Deze  complex  is  telraedraal.  Zie  Sïurm,  Liniengeometrie,  I,  p.  364. 
