( 844  ) 
Deze  snijdende  nodale  takken  komen  slechts  voor  indien  ]>  1. 
Is  r > 1 dan  moeten  de  coëfficiënten  b en  c aan  bijzondere  voor- 
waarden voldoen.  Is  r = 1 dan  gaan  door  het  cyclisch  punt  (n,  i , m) 
der  keerkromme,  of  q,  : 2,  of  (g,  — 1)  : 2 dezer  nodale  snijdende 
takken.  Alle  snijdende  nodale  takken  bezitten  een  gemeenschappelijke 
raaklijn  gelegen  in  het  vlak  z = 0,  zoowel  voor  r = 1 als  voor  r>l. 
§ 5.  Het  voorbeeld  van  een  gewoon  stationnair  punt  (2,1,1) 
toont  aan,  dat  door  een  cyclisch  punt  van  de  keerkromme,  nodale 
takken  kunnen  gaan,  welke  dezelfde  raaklijn  maar  niet  hetzelfde 
osculatievlak  bezitten  als  de  keerkromme.  Deze  bijzondere  nodale 
takken  komen  slechts  voor  indien  <74  > 1-  Is  > 1 en  m = 1 dan 
komen  deze  bijzondere  nodale  takken  steeds  voor.  Is  ^4  > 1 en  ook 
m > 1 dan  moeten  de  coëfficiënten  b en  c aan  bijzondere  voorwaarden 
voldoen.  Deze  bijzondere  nodale  takken  hebben  in  het  cyclisch  punt 
{n,  r,  m)  een  gemeenschappelijk  osculatievlak  (verschillend  van  het 
vlak  2 = 0). 
§ 6.  De  raaklijn  aan  C in  het  cyclisch  punt  {n,r,m)  is  een  r- 
voudige  beschrijvende  g op  het  ontwikkelbaar  regelvlak  O.  De  r 
bladen  van  het  oppervlak  O welke  door  de  beschrijvende  g gaan 
raken  alle  aan  het  osculatievlak  2 = 0 van  C in  het  punt  (n,  r, 
De  beschrijvende  g ontmoet  nog  in  q — (w  + 2 r + m)  punten  U 
een  blad  van  het  oppervlak  O,  als  O is  van  den  graad  q. 
In  ieder  punt  R ontmoet  g r takken  van  de  knoopkromme.  Deze 
r takken  vormen,  indien  m > r een  singulariteit  (r,  r,  m r)  en 
het  osculatievlak  van  deze  nodale  takken  is  het  raakvlak  van  O 
langs  q.  . , 
Indien  m v vormen  deze  r nodale  takken  een  smgulaiitei 
^ _ m)  en  het  osculatievlak  dezer  r nodale  takken  is  het 
raakvlak  van  O langs  de  g in  R snijdende  beschrijvende. 
Indien  r = m vormen  deze  r nodale  takken  een  singulariteit  (r,  r,  1). 
§ 7.  In  ’t  algemeen  zal  de  singuliere  beschrijvende  g alleen  nodale 
takken  ontmoeten  in  het  cyclisch  punt  (n,  r,  m)  en  in  de  punten  R. 
Indien  > 1 dan  kan  het  gebeuren  dat  g nog  ontmoet  nodale 
takken,  die  ontstaan,  doordat  eenige  der  r bladen,  die  elkaar  volgens 
q raken,  elkaar  doordringen.  Deze  nodale  takken  ontmoeten  g in 
het  zelfde  punt  Q.  Is  g,  > 1 en  n = 1 dan  bestaat  er  altijd  een 
zoodanig  ontmoetingspunt  Q.  Is  g,  > 1 en  n > 1 dan  moeten  de 
coëfficiënten  6 en  c aan  bijzondere  voorwaarden  voldoen,  willen  de 
bladen  die  door  g gaan  elkaar  doordringen. 
