( 419  ) 
twee  takken  door  P',  zoodat  P'  eveneens  dubbelpunt  van  M is.  De 
door  P gaande  krommen  der  bundels  hebben  nu  nog  slechts  êén 
ander  gemeenschappelijk  punt  F,  maar  nu  doet  zich  de  bijzonderheid 
voor,  dat  men  P of  P'  op  twee  wijzen  zoo  verplaatsen  kan,  dat  het 
andere  gemeenschappelijke  punt  behouden  blijft.  PP'  is  dan  dus  als 
een  dubbel  correspondeerend  puntenpaar  op  te  vatten. 
Heeft  men  nu  omgekeerd  een  punten  tripel  PP'P",  dat  op  krommen 
van  ieder  der  bundels  ligt,  dan  is  P een  dubbelpunt  van  M,  daar 
met  P zoowel  P'  als  P"  correspondeert  en  het  dus  mogelijk  moet 
zijn  P zoo  te  verplaatsen,  dat  het  correspondeerende  punt  een  door 
P'  gaanden  tak  beschrijft,  en  zoo  dat  een  door  P"  gaande  tak 
beschreven  wordt.  De  kromme  M heeft  dus  twee  door  P gaande 
takken  PI  en  P2,  waarmede  de  takken  P'1  en  P"2  correspon- 
deeren.  Door  het  punt  P'  (dat  natuurlijk  eveneens  dubbelpunt  van 
J/  is,  evenals  P")  gaat  nog  een  tweede  tak  P'3  en  door  P"  een 
tweede  tak  P '3,  welke  takken  onderling  correspondeeren.  Doorloopt 
een  punt  Q den  tak  PI,  dan  hebben  de  door  Q gaande  krommen 
Cr,  Csj  Ct  nog  een  tweede  gemeenschappelijk  punt,  dat  den  tak  P'1 
beschrijft,  terwijl  er  nog  een  derde  gemeenschappelijk  punt  P"  ont- 
staat en  weer  verdwijnt  als  Q het  punt  P passeert.  Dit  derde  gemeen- 
schappelijke punt  verplaatst  zich  (en  wel  langs  den  tak  P"2)  als  Q 
den  anderen  door  P gaanden  tak  doorloopt,  terwijl  dan  juist  het  in 
P vallende  gemeenschappelijke  punt  ontstaat  en  verdwijnt. 
Puntentripels  PP'P",  en  dus  ook  buiten  de  basispunten  vallende 
dubbelpunten  van  M,  zullen  aanwezig  zijn,  daar  een  punten  tripel 
van  6 parameters  afhangt  en  het  een  6-v'oudige  voorwaarde  is,  dat 
er  een  kromme  van  ieder  der  bundels  door  gaat.  Men  heeft  dus  : 
_ De  kromme  M heefi  buiten  de  basispunten  der  bundels  dubbelpunten, 
die  drie  aan  drie  bij  elkaar  behooren  en  de  puntentripels  vormen, 
waardoor  een  kromme  van  ieder  der  bundels  mogelijk  is.  Met  den 
eenen  of  den  anderen  tak  door  een  dubbelpunt  van  zulk  een  drietal 
correspondeert  een  tak  door  het  tiveede  resp.  het  derde  dubbelpunt  van 
dit  drietal. 
Bovendien  kan  M echter  nog  paren  van  dubbelpunten  bezitten,  die 
de  dubbele  correspondeerende  puntenparen  aanwijzen.  Met  de  beide 
takken  door  een  dubbelpunt  van  zulk  een  paar  correspondeeren  de 
takken  door  het  andere  dubbelpunt  van  het  paar. 
6.  Het  aantal  coïncidenties  der  correspondentie  tusschen  P en  P' 
laat  zich  als  volgt  bepalen.  De  punten  P en  P'  vallen  samen  als  de 
door  P gaande  krommen  Cr,  Cs  en  Ct  in  P dezelfde  raaklijn  hebben. . 
moet  dan  liggen  zoowel  op  de  aanrakingskromme  Fs  der  bundels 
