( 420  ) 
(Cr)  en  (Cs)  als  op  de  aanrakingskroinme  R^t  van  (C,)  en  (C'i).  Het 
aantal  snijpunten  dier  aanrakingskrommen,  die  van  den  graad 
2?’  -J-  — 3 resp.  2r  — 3 zijn,  bedraagt 
(2r  + 2s  - 3)  (2r  + — 3). 
Sommige  dezer  snijpunten  liggen  echter  niet  op  de  derde  aan- 
rakingskromme  Rgt  en  moeten  dus  niet  medegeteld  worden.  De 
kromme  Rrs  gaat  nl.  éénmaal  door  een  basispunt  A,-  of  Ag  en  drie- 
maal door  een  gemeenschappelijk  basispunt  Ars  of  Arst',  immers  in 
een  punt  van  Rrs  vallen  twee  beweeglijke  snijpunten  van  Cr  en  Cs 
samen,  zoodat  het  punt  Ars  als  punt  der  aanrakingskromme  wordt 
opgeleverd  als  Cr  en  Cs  in  Ars  een  aanraking  van  de  2*^®  orde  ver- 
toonen,  hetgeen  driemaal  gebeurt.  Verder  gaat  Rrs  door  de  dubbel- 
punten der  krommen  C,-  en  Cs,  waarvan  het  aantal  voor  den  bundel 
{Cr)  3(r — 1)^  en  voor  den  bundel  (C!«)  S{s — 1)^  bedraagt,  zooals 
onmiddellijk  uit  den  graad  van  den  discriminant  volgt. 
Ieder  der  — y'  — d punten  Ar  is  enkelvoudig  snijpunt  van 
Rrs  en  Rrt  (enkelvoudig,  daar  de  raaklijnen  in  Ar  aan  Rrs  en  Rri 
de  raaklijnen  der  door  Ar  gaande  krommen  Cs  en  Ct  zijn  en  dus  in 
het  algemeen  verschillen),  echter  geen  punt  van  Rst  • Ieder  der  «' 
punten  Ast  is  een  dubbel  snijpunt  van  Rrs  en  Rrt , daar  die  aan- 
rakingskrommen in  Ast  een  enkelvoudig  punt  hebben  met  dezelfde 
raaklijn,  nl.  die  der  door  Ast  gaande  Cr ; deze  punten  zijn  ook  punten 
van  Rst  en  wel  drievoudige.  Ieder  der  punten  Art  is  drievoudig 
snijpunt  van  Rrs  en  Rrt  (daar  het  enkelvoudig  punt  van  Rrs  en 
drievoudig  punt  van  Rrt  is)  en  ligt  tevens  op  Rst ; hetzelfde  geldt 
voor  de  y'  punten  Ars  • Ieder  der  cf  punten  Arst,  die  basispunten  der 
drie  bundels  zijn,  is  9-voudig  snijpunt  van  Rrs  en  Rrt , daar  het  van 
ieder  dier  krommen  een  3-voudig  punt  is;  tévens  is  het  drievoudig 
punt  van  Rst  - Eindelijk  zijn  de  3(r  — 1)’’  dubbelpunten  van  den 
bundel  (C,-)  enkelvoudige  snijpunten  van  Rrs  en  Rrt , echter  geen 
punten  van  Rst ; van  de  door  zulk  een  dubbelpunt  gaande  krommen 
Cr,  Cs  en  Ct  voert  wel  Cr  aan  Cs  en  aan  Ct  een  oneigenlijke  aan- 
raking uit,  zonder  dat  evenwel  Cs  en  Ct  elkaar  aanraken. 
Hieruit  ziet  men,  dat  de  aanrakingskrommen  Rrs  en  Rrt 
r’  - — y'  — d -f  3 (r  — 1)»  = — 6r  + 3 — — y'  — d 
snijpunten  hebben,  die  geen  punten  van  Rst  zijn,  en  dus  geen  samen- 
vallende punten  P en  P'  opleveren.  Bovendien  hebben  Rrs  en  P,-< 
2«'  + 3/3'  p 3y'  -p  9(f 
in  de  gemeenschappelijke  basispunten  vallende  snijpunten,  die  wel 
op  Rst  liggen,  maar  toch  geen  samenvallende  punten  P en  P'  op- 
leveren, doordat  daarvoor  noodig  is  dat  van  drie  door  een  zelfde 
