( 421  ) 
punt  gaande  krommen  C,-,  G en  G ieder  tweetal  twee  in  dat  punt 
vallende  be^oeeglijke  snijpunten  vertoont.  Voor  het  aantal  samen- 
vallende punten  P en  P'  blijft  derhalve  over: 
(2?*  -|-  2s  — 3)  {2r  2t  — 3)  — (4r’  — 67-  -p  3 — g'  — y'  — 
(2«  -j-  Sg'  -|-  3y’  -j-  9(fj 
= 4(st  + «r  + rs)  — 6(r  -{-  s 4-  f)  + 6 — 2 («'  + /3'  + y'  -f  4d). 
W e vinden  dus  : 
Het  gebeurt 
A{st  + -j-  ra)  — 6(r  + s 4-  jt)  -f  6 — 2(«  -)-  /?  4-  y ^ d) 
maal,  dat  de  beide  imnten  P en  P' , luaardoor  een  kromme  van  ieder 
der  bundels  mogelijk  is,  samenvallen. 
7.  Met  behulp  van  dit  resultaat  laat  zich  de  klasse  der  omhullende 
van  de  verbindingslijnen  PP'  gemakkelijk  bepalen.  Daartoe  heeft 
men  te  tellen  hoeveel  rechten  PP'  door  een  willekeurig  punt  .S gaan. 
Dit  aantal^  vindt  men  door  de  correspondentie  tusschen  de  stralen 
SP  en  SP'  te  beschouwen,  die  we  I en  l'  noemen.  Dit  is  een  invo- 
lutorische  in,  /i)-correspondentie,  waarin  n de  graad  van  de  meetkundige 
plaats  M der  punten  P en  P'  voorstelt ; immers  op  een  willekeurigen 
straal  / (of.  l')  liggen  n punten  P (of  P'),  met  ieder  waarvan  één 
punt  P'  (of  P)  correspondeert.  Er  zijn  dus  2n  coincidentiestralen, 
die  daardoor  kunnen  Avorden  opgeleverd,  dat  PP'  door  S gaat,  of 
daardoor  dat  P en  P'  samenvallen. 
Voor  het  aantal  coincidentiestralen,  waarbij  PP'  door  S gaat 
vindt  men  dus:  * 
2 {3(rat  + 1)  — 2 (7>  4-  s 4-  «)  _ («7,  4_  tr ra)  — 
— 6(r>  4-  fi  -)-  ^)  4-  6 — 2 (a  4-  4-  y (f)|  — 6ra«  — A {st  tr  ra)  4- 
4-  2 (r  4-  s 4-  ^)  _ 2«  (r-  — 1)  _ 2/?  (s  — 1)  _ 2y  (i  — 1)  4-  2cf. 
Deze  coincidentiestralen  vallen  echter  twee  aan  twee  samen.  Immers 
gaat  de  verbindingslijn  der  correspondeerende  punten  en  P ' 
door  S,  dan  komen  met  P,Pj,  als  lijn  I beschouwd,  n lijnen  l'  over- 
een waarvan  er  twee  met  P,P/  samenvallen,  daar  als  men  het 
punt  P van  I in  P,  of  in  Pj  kiest  het  correspondeerende  punt  P' 
m p resp.  p komt.  Evenzoo  komen  met  pP/,  als  lijn  l'  beschouwd, 
n lijnen  / overeen,  waarvan  er  eveneens  twee  met  pp'  samenvallen 
waaruit  volgt,  dat  PjPj  een  dubbele  coincidentiestraal  is  4*  Om  het 
door  flP  o gevolgtrekking  kan  men  zich  gemakkelijk  overtuigen 
door  de  correspondentie  tusschen  de  stralen  SP  en  SP'  in  beeld  te  brengen 
aartoe  beschouwen  we  de  parameters  der  rechten  SP  en  SP'  als  rechthoekige 
