( 423  ) 
Wiskunde.  — De  Heer  J.  C.  Klüyver  biedt  een  mededeeling  aan: 
„Eenige  formules  aangaande  de  getallen  kleiner  dan  n en 
ondeelbaar  met  n.” 
Het  aantal  (p  {n)  van  de  getallen  v kleiner  dan  n en  ondeelbaar 
met  n kan  door  middel  van  de  deelers  d worden  uitgedrukt. 
Men  heeft 
<p{n)=i:S  n {d)  d\  {dd'  n) 
djn 
indien  men  door  {q)  aanduidt  de  rekenkundige  functie,  die  gelijk 
is  aan  nul,  als  q deelbaar  is  door  een  kwadraat,  en  die  overigens 
gelijk  IS  aan  +1  of  —1,  naargelang  q het  product  is  van  een  even 
of  van  een  oneven  aantal  priemgetallen. 
Deze  vergelijking  is  een  bijzonder  geval  van  eene  meer  algemeene, 
met  behulp  waarvan  -zekere  symmetrische  functies  van  de  getallen 
V uitgedrukt  kunnen  worden  door  de  deelers  d. 
Deze  algemeene  betrekking  kan  geschreven  worden  als  volgt ') 
Tc=d' 
2f{v)  = ^^x{d):Ef{kd). 
din  Jc=l 
Voor  het  bewijs  heeft  men  op  te  merken,  dat  in  de  onderstelling 
{m,n)  D de  term  f {m)  in  het  rechter  lid  zoo  dikwijls  voorkomt, 
als  d een  deeler  is  van  D.  Daarom  wordt  de  totale  coëfficiënt  van 
den  term  ƒ (ni)  in  het  rechterlid  gelijk  aan 
12  (X  (d), 
dID 
en  deze  som  is  nul  voor  D grooter  dan  één,  en  gelijk  aan  één, 
wanneer  m gelijk  is  aan  een  der  getallen  v. 
Van  deze  vergelijking  van  Kronecker  zullen  eenige  eenvoudige 
gevallen  worden  beschouwd. 
Laat  vooreerst  zijn 
f{y)  = e^y. 
De  vergelijking  wordt 
k=cV 
2 2 IX  {d)  ^ e^kd  ^ ^ rg.  1 
d/n  (lln  — 1 ’ 
of  omdat 
.2"  n(d)  = 0 
2 ^ 
d/n 
— 1 
exd  _ g 
b Kronecker,  Vorlesungea  über  Zahlentheorie.  I,  p.  251. 
