( 425  ) 
2 cos  ^stxv  ^ sin  2tJtxn  JS  n (d)  cot  jtxd, 
« djn 
2 sin  2jtxv  = sin^  nxn  2 n{d)  cot  nxd. 
djn 
In  het  bijzonder  geeft  de  eerste  dezer  vergelijkingen  eene  eenvou 
dige  uitkomst,  als  men  a;  = — -f  e stelt,  waar  e is  eene  tot  nul 
naderende  grootheid. 
Daar  de  factor  ƒ m 2jra’w  tegelijk  met  s tot  nul  nadert,  wordt  het 
geheele  rechter  lid  nul  op  den  term  na,  waarin  d = n.  Op  deze 
wijze  komt  er 
2jrv 
^ cos = U (n), 
V n 
en  men  heeft  de  functie  fx(n),  die  oorspronkelijk  alleen  afhing  van 
de  ondeelbare  factoren  van  n,  uitgedrukt  als  een  functie  van  de 
getallen  ondeelbaar  met  n. 
Op^eene  dergelijke  wijze  kan  men  in  de  tweede  vergelijking  stellen 
^ 5 waardoor  gevonden  wordt 
sin  nv  _ , std 
= ^ u(d)  cot  — . 
>'  ^ d/n  2n 
Nog  eene  andere  goniometrische  formule  wordt  verkregen  uit  de 
cosmus-betrekking  door  de  substitutie  x = e.  Laat  I)  de  grootste 
gemeene  deeler  zijn  van  de  getallen  n en  q,  zoodat  men  heeft' 
n = n^D  , q — q^J), 
In  het  rechterlid  zijn  dan,  wanneer  e tot  nul  nadert,  alleen  die 
termen  te  behouden,  in  welke  qd  deelbaar  is  door  n,  of  wat  het- 
zeltde  15,  die  termen  voor  welke  de  complementaire  deeler  d'  deel- 
baar  is  op  D. 
Men  heeft  dus 
2x[qv  / n\  i 
- « = ("  = ■0) 
d ““  ^ «'■■'^kken  over  alle  deelers 
van  D,  IS  het  voldoende  alleen  in  aanmerking  te  nemen  die 
eelers  d van  n,  die  ondeelbaar  zijn  met  n,.  Aldus  vindt  men 
T = '"  W ^ " W 7 . 
en  daar  liet  rechterlid  blijkbaar  herleid  kan  worden  tot 
(f(n) 
u 
Dj 
Ai)' 
