( 475  ) 
punt  L van  GH  één  punt  K overeen.  De  projectieve  pimtenreeksen 
zijn  echter  in  het  algemeen  niet  perspectief,  zoodat  de  rechten  KL  of 
PP'  een  kegelsnede  N omhullen,  die  aan  EF  en  GH  raakt. 
Van  die  kegelsnede  laten  zich  nog  drie  andere  raaklijnen  gemak- 
kelijk construeeren,  door  nl.  voor  de  kegelsnede  ABCD  achtereen- 
volgens ieder  der  drie  degeneraties  te  kiezen.  Is  die  kegelsnede 
AB  . CD,  dan  liggen  de  beweeglijke  snijpunten  met  kegelsneden  van 
den  bundel  ABEF  op  CD,  zoodat  K op  CD  valt,  dus  in  het  snij- 
punt iéj  van  CD  en  EF-,  evenzoo  valt  L in  het  snijpunt  Xj  van 
AB  en  GH.  De  rechte  is  dus  raaklijn  van  H.  Iets  minder 
eenvoudig  wordt  de  constructie  als  we  een  der  beide  andere  degene- 
raties kiezen,  bv.  AC.BD.  Door  deze  te  snijden  door  de  gedegene- 
reerde kegelsnede  AE . BE  van  den  bundel  ABEF  blijkt,  dat  K dan 
valt  in  het  snijpunt  van  EF  met  de  verbindingslijn  van  het  snijpunt 
van  AE  en  BD  met  het  snijpunt  van  BF  en  AC-,  op  overeenkom- 
stige wijze  vindt  men  L. 
Tot  de  eigenlijke  meetkundige  plaats  M der  punten  P en  P'  be- 
hoort de  snijki’omme  (meetkundige  plaats  der  snijpunten)  van  de 
kegelsneden  van  den  bundel  ABCD  met  de  projectief  verwante  raak- 
lijnen KL  der  kegelsnede  N.  Deze  snijkromme  is  fzooals  uit  de 
snijpunten  met  een  willekeurige  rechte  of  met  een  willekeurige  kegel- 
snede van  den  bundel  ABCD  gemakkelijk  blijkt)  van  den  5*^®"  graad 
met  dubbelpunten  in  A,  B,  X en  D -,  verder  gaat  ze  door  E,  F,  X en 
H,  daar  het  punt  K in  E komt  als  de  kegelsnede  ABCD  door  E 
gaat,  enz.  Kiest  men  voor  de  kegelsnede  van  den  bundel  ABCD  de 
degeneratie  AB . CD,  dan  gaat  KL  in  iTiLi  over,  welke  rechte  de 
kegelsnede  AB  . CD  in  de  punten  K^  en  L^  snijdt,  die  dus  eveneens 
op  de  snijkromme  liggen.  Door  de  beide  andere  degeneraties  te 
kiezen  vindt  men  nog  4 andere  punten  der  65.  In  het  geheel  zijn 
dit  10  enkelvoudige  en  4 dubbelpunten,  waardoor  de  C^  bepaald  is. 
Kiest  men  de  degeneratie  AB  . CD,  dan  doet  zich  de  bijzonderheid 
voor,  dat  het  puntenpaar  der  involutie  ingesneden  door  den  bundel 
ABEF  onbepaald  kan  worden  op  AB,  als  nl.  de  kegelsnede  ABEF 
degenereert  in  AB . EF.  Daardoor  zal  de  geheele  rechte  AB  (en 
natuurlijk  evenzoo  de  rechte  CD)  tot  de  eigenlijke  meetkundige 
plaats  van  P en  P'  behooren  ^).  Tot  het  eigenlijke  deel  van  de  om- 
hullende der  rechten  PP'  dragen  de  op  AB  en  CD  gelegen  punten- 
paren  PP'  niets  anders  bij  dan  de  rechten  AB  en  CD  (die  ook  tot 
het  oneigenlijke  deel  der  omhullende,  de  punten  A,  B,  C en  D,  be- 
hooren), hetgeen  geen  verhooging  der  klasse  geeft. 
h Algemeener:  liggen  twee  basispunten  van  een  bundel  met  twee  basispunten 
van  een  anderen  bundel  op  één  rechté,  dan  behoort  die  rechte  tot  de  eigenlijke 
meetkundige  plaats. 
32* 
