( ^76  ) 
De  eigenlijke  meetkundige  plaats  van  P en  P'  bestaat  dus  uit  de 
rechten  AB  en  CD  en  de  kromme  en  is  dus  in  overeenstemming 
met  de  algemeene  resultaten  van  den  graad.  De  rechte  AB  {CD) 
snijdt  de  C^  in  de  dubbeltellende  punten  ^ en  ^ (C  en  D)  en  in 
Xj  (/fi).  De  C,  heeft  dus  buiten  de  basispunten  (waarvan  E,  F,  G 
en  H enkelvoudige  en  A,  B,  C en  D drievoudige  punten  der  X;  zijn) 
dubbelpunten  in  K^,  X,  en  het  snijpunt  T van  AB  en  CD.  Deze 
vormen  een  drietal  bij  elkaar  behoorende  dubbelpunten,  waarvan  we 
in  § 5 gesproken  hebben.  De  kegelsneden  der  drie  bundels,  die  door 
een  dier  dubbelpunten  gaan,  gaan  ook  door  de  drie  andere;  deze 
kegelsneden  zijn  AB  . CD  , AB  . XX  en  CD  . GH.  Met  de  door  T 
gaande  takken  XX,  en  XX,  van  C^  correspondeeren  resp.  de  door 
Xj  en  X,  gaande  takken  XjX  en  XjX,  terwijl  de  door  X,  en  X, 
gaande  takken  van  C5  onderling  correspondeeren. 
Resumeerend  hebben  we  dus  gevonden  ; 
Bij  de  drie  hegelsneebundels  ABCD  , ABEF  en  CDGH  bestaat 
de  eigenlijke  meetkundige  plaats  der  gemeenschappelijke  puntenparen 
PP'  uit  de  rechten  AB  en  CD  en  een  kromme  van  den  graad, 
die  in  A,  B,  C en  D dubbelpunten  en  in  E,  F,  G en  H enkelvoudige 
punten  bezit  en  verder  gaat  door  het  snijpunt  X,  van  CD  en  EF  en 
het  snijpunt  X,  van  AB  en  GH.  De  eigenlijke  omhullende  der  rechten 
PP'  is  een  kegelsnede,  die  aan  de  rechten  EF,  GH  en  K^L.^  raakt. 
10.  Liggen  de  punten  A,  B,  C,  D,  E en  F op  één  kegelsnede,  dan 
behoort  die  tot  de  meetkundige  plaats,  zoodat  de  C^  in  die  kegelsnede 
en  een  C3  gaande  door  A,  B,  C,  D,  G,  H,  X,  en  X,  degenereert.  Bij 
iedere  kegelsnede  van  den  bundel  ABCD  behoort  nu  hetzelfde  punt 
X,  nl.  X,,  zooals  onmiddellijk  blijkt  door  de  kegelsnede  van  den 
bundel  ABEF  door  C en  D te  leggen.  Neemt  men  voor  de  kegel- 
snede ABCD  echter  ABCDEF,  dan  wordt  X onbepaald  op  EF, 
terwijl  het  punt  X ergens  in  X^  op  GH  komt  te  liggen.  De  verwant- 
schap tusschen  de  punten  X en  X is  nu  zoo,  dat  met  een  buiten  X, 
gelegen  punt  X steeds  hetzelfde  punt  X overeenkomt,  nl.  X,,  terwijl 
als  X in  Xj  valt  het  punt  X willekeurig  op  EF  is.  De  kegelsnede 
N degenereert  dus  in  de  twee  punten  X,  en  X^ . Het  verband  tusschen 
de  kegelsneden  van  den  bundel  ABCD  en  de  raaklijnen  XX  of  XX' 
van  N is  zoo,  dat  met  de  kegelsnede  ABCDEF  iedere  rechte  door 
Xj  correspondeert  en  overigens  tusschen  de  kegelsneden  ABCD  en 
de  rechten  door  X,  een  projectief  verband  bestaat,  waarbij  met  de 
kegelsneden  ABCDEF  , ABCDG  , ABCDH  en  de  ontaarde  kegel- 
snede AB  . CD  resp.  XjX,  , K^G  , K^H  en  XjX,  overeenkomen. 
Ook  hieruit  blijkt,  dat  de  snijkromme  Cj  degenereert  in  de  kegelsnede 
