Aan  deze  voorwaarde  voor  de  perspectiviteit  der  pnntenreeksen  K 
en  L (^waarin  natuurlijk  C met  D moet  kunnen  worden  verwisseld, 
evenals  AB  en  EF  met  CD  resp.  GH)  is  ten  duidelijkste  voldaan 
als  E en  G samenvallen. 
Is  U het  centrum  der  perspectiviteit,  dan  bestaat  tusschen  de  stralen 
van  den  bundel  ü en  de  kegelsneden  van  den  bundel  ABCD  een 
projectief  verband,  waarbij  met  de  kegelsneden  ABCDE,  ABCDF, 
ABCDG,  ABCDH,  ABCDW  en  AB . CD  resp.  de  stralen  ÜE, 
CF,  UG,  UH,  UV  en  correspondeeren,  terwijl  bovendien 
met  de  kegelsnede  ABCDW  alle  stralen  van  den  bundel  F corre- 
spondeeren, De  C^  van  § 9 degenereert  dus  in  de  kegelsnede  ABCDW, 
die  nog  steeds  tot  het  eigenlijke  deel  der  meetkundige  plaats  behoort, 
en  een  C^  gaande  door  de  punten  A,  B,  C,  D,  U,  E,  F,  G,  H,  en 
Xj,  die  de  kegelsnede  in  A,  -S,  X en  D en  de  beide  snijpunten  van 
UV  met  die  kegelsnede  snijdt. 
De  eigenlijke  meetkundige  plaats  is  dus  een  X,  bestaande  uit  de 
rechten  AB  en  CD,  de  kegelsnede  ABCDW  en  genoemde  Xj. 
Buiten  de  basispunten  heeft  deze  Xy  vijf  dubbelpunten,  nl.  het  tripel 
IC,  Xj,  T en  het  paar  gevormd  door  de  snijpunten  van  UV  met  de 
kegelsnede  ABCDW. 
De  X3  is  door  de  10  punten  A,  B,  X,  D,  E,  F,  G,  H,  Xj  en  be- 
paald. Deze  10  punten  zullen  dus,  als  aan  de  genoemde  voorwaard  e 
voor  de  perspectiviteit  voldaan  is,  op  één  X,  moeten  liggen,  en  om- 
gekeerd kan  gemakkelijk  bewezen  worden,  dat  als  die  10  punten 
op  een  X3  liggen  de  pnntenreeksen  perspectief  zijn.  Onderstellen  we 
nl.  dat  de  pnntenreeksen  niet  perspectief  waren,  dan  zou  men  met 
behoud  der  punten  A,  B,  C,  D,  E,  F en  G op  de  lijn  GE[  (en  dus 
met  behoud  der  punten  /X,  Xj,  F en  IF)  met  behulp  van  de  ge- 
noemde voorwaarde  voor  de  perspectiviteit  een  punt  H'  zoo  kunnen 
construeeren,  dat  de  pnntenreeksen  K en  X wel  perspectief  zijn; 
H'  is  dan  het  tweede  snijpunt  van  VG  met  de  kegelsnede  door 
C,  D,  G en  W,  die  de  kegelsnede  ^XXülF  in  C aanraakt.  Ku  zullen 
dus  de  10  punten  A,  B,  C,  D,  E,  F,  G,  IC,  X^  en  H'  op  een  X3  liggen, 
die  echter  reeds  door  de  9 eerstgenoemde  punten  bepaald  is  en  dus 
dezelfde  is  als  de  X3  door  de  10  punten  X,  X,  X,  X,  X,  X, /X,  Xj  en 
H.  De  lijn  VG  zou  dan  echter  vier  punten  G,  L^,  H en  H'  met 
deze  X3  gemeen  hebben. 
De  C3  is  alleen  dan  door  deze  9 punten  niet  bepaald  als  twee  dier  punten  zoo 
samenvallen,  dat  hun  verbindingslijn  onbepaald  is  (b.  v.  G met  E of  E X)- 
De  10  punten  liggen  dan  op  een  Cg,  terwijl  men  zich  gemakkelijk  overtuigt,  dat 
de  verwantschap  tusschen  K en  L perspectief  is. 
