( 483  ) 
3.  Den  graad  van  het  aanralingsoppèrvJak  te  J)epalen  van  een 
tioeevoudig  oneindig  stelsel  van  ruimtekrommen  en  een  enkelvoudig 
oneindig  stelsel  van  oppervlakken. 
Hierbij  zullen  we  de  beide  stelsels  eerst  willekeurig  onderstellen. 
Om  den  graad  van  het  aanrakingsoppervlak  te  bepalen  zoeken 
we  zijn  snijpunten  met  een  willekeurige  rechte /.  Daartoe  beschouwen 
we  de  omhullende  0^  der  raakvlakken  van  de  krommen  van 
het  stelsel  in  hare  snijpunten  met  I en  de  omhullende  0^  der  oo^ 
raakvlakken  van  de  oppervlakken  van  het  stelsel  in  hunne  snijpunten 
met  /.  De  niet  door  / gaande  gemeenschappelijke  raakvlakken  van 
beide  omhullenden  wijzen  dan  door  hunne  snijpunten  met  I de  snij- 
punten van  / met  het  aanrakingsoppervlak  aan. 
Om  de  klasse  der  omhullende  0^  (gevormd  door  de  raakvlakken 
van  een  regel  vlak  met  I als  richtlijn)  te  bepalen,  zoeken  we  de 
klasse  van  den  kegel  omhuld  door  de  raakvlakken,  die  door  een  wille- 
keurig punt  Q van  I gaan.  Is  nu  het  krommenstelsel  van  dien  aard,  dat 
er  (fi  krommen  door  een  willekeurig  punt  gaan  en  if)  een  gegeven  vlak 
in  een  punt  van  een  gegeven  rechte  aanraken,  dan  omhullen  de  door  Q 
gaande  i’aakvlakken  van  0^  de  <p  raaklijnen  in  Q der  door  Q gaande 
krommen  van  het  stelsel  en  de  i|j-maal  tellende  rechte  l;  immers 
ieder  vlak  door  / is  tp-maal  als  raakvlak  te  beschouwen,  daar  er 
V?  krommen  van  het  stelsel  zijn,  die  I snijden  en  een  in  dit  vlak 
gelegen  raaklijn  hebben.  De  omlmllende  0^  is  dus  van  de  klasse 
(f  4'  671  heeft  I rds  \p-voudige  lijn  ^). 
Om  de  klasse  der  omhullende  0^  te  bepalen,  zoeken  we  het  aantal 
harer  raakvlakken  door  een  willekeurig  punt  Q van  l.  Heeft  nu  het 
stelsel  p oppervlakken  door  een  gegeven  punt  en  v oppervlakken, 
die  een  gegeven  rechte  aanraken,  dan  zijn  de  door  Q gaande  raak- 
vlakken der  omhullende  de  raakvlakken  in  Q aan  de  p door  Q 
gaande  oppervlakken  en  de  raakvlakken  der  v oppervlakken,  die  / 
aan  raken.  De  0 77diullende  O.,  is  dus  van  de  klasse  p -f- r met  v door 
I gaande  raakvlakken. 
Beide  omhullenden  hebben  derhalve  (p -|-r)  gemeenschappe- 
lijke raakvlakken.  Ieder  der  v door  I gaande  raakvlakken  van  0^ 
is  echter  een  4'-voudig  raakvlak  van  0^  en  telt  dus  voor  ip  gemeen- 
schappelijke raakvlakken.  Voor  het  aantal  niet  door  / gaande  gemeen- 
schappelijke raakvlakken,  dus  het  aantal  snijpunten  van  / met  het 
aanrakingsoppervlak,  vindt  men  dus  -. 
{(p  -t-  ifj)  (p  + v)  — = (pv  -f  4p  -h  tpp  , 
derhalve  : 
1)  Het  regelvlak  als  meetkundige  plaats  van  punten  heeft  echter  de  lijn  I als 
V-voudige  lijn. 
