( 484  ) 
Het  aanraking soppervlah  van  een  stelsel  ((p,  if^)  van  oo^  ruimte- 
krommen en  een  stelsel  (fz;  p)  van  oo’  oppervlakken  is  van  den 
graad  tpv  -f-  ifj/it  -j-  (fp  ®). 
4.  Om  den  graad  van  het  aanrakingsoppervJak  der  stelsels 
((^1  > en  (pj  , v,)  ieder  van  oo^  oppervlakken  te  bepalen, 
beschouwen  we  het  stelsel  (y  , if?)  der  snijkrommen  van  de  stelsels 
(Pi  , i’i)  en  (p, , r,).  Van  deze  snijkrommen  gaan  er  door  een  gegeven 
punt,  dus  (f  = De  punten,  waar  de  snijkrommen  een  gegeven 
vlak  in  een  punt  van  een  gegeven  rechte  aanraken,  zijn  de  snij- 
punten dier  gegeven  rechte  met  de  aanrakingskrorame  der  stelsels 
> ï’i)  en  (f^s  , p J van  vlakke  krommen,  volgens  welke  het  gegeven 
vlak  de  oppervlakkenstelsels  , pJ  en  {p^  , pj  snijdt.  Deze  aanra- 
kingskromme  is  van  den  graad  p^v^  + /^a^i  + dus  ; 
4^  = + p,p,. 
Het  gezochte  aanrakingsoppervlak  is  dus  het  aanrakingsoppervlak 
van  een  stelsel  (PiP^  , p^v^  p^%\  -f-  PiPa)  van  oo*  ruimtekrommen 
en  een  stelsel  (p,  , P3)  van  00^  oppervlakken,  zoodat  we  vinden : 
Het  aanrakingsoppervlak  *)  van  drie  stelsels  (p^  , pj,  {p^  , pJ  en 
(Pf  , Pg)  van  00*  oppervlakken  is  van  den  graad 
Zijn  nu  de  drie  stelsels  de  bundels  (Fg),  (Ft)  en  {F,,),  dan  is: 
p^=p^  = p^  — ], 
Pj=z2(s-1)  , p,  = 2(i — 1)  , Pj  = 2(m  — 1), 
Men  heeft  dus  : 
Hét  aanrakingsoppervlak  F^tu  der  drie  oppervlakkenbundels  {Fs), 
')  Stelsel  met  ? krommen  door  een  gegeven  punt  en  t krommen,  die  een  gegeven 
lijn  snijden  en  in  het  snijpunt  een  gegeven  vlak  door  die  lijn  aanraken. 
2)  Stelsel  met  ijl  oppervlakken  door  een  gegeven  punt  en  v oppervlakken,  die 
een  gegeven  rechte  aanraken. 
3)  Deze  uitkomst  is  ook  onmiddellijk  af  te  leiden  uit  de  ScHUBERï’sche  formule 
=2)'®  . G-\-p'g'e  . P'^ge-\-p^  . P^ge 
(Kalkül  der  abzahlenden  Geometrie,  formule  13  p.  292)  voor  het  aantal  gemeen- 
schappelijke elementen  met  op  een  gegeven  lijn  gelegen  punt  van  een  stelsel  5,' 
van  oo3  en  een  stelsel  £ van  rechten  met  een  punt  er  op.  Nemen  we  voor  £’ 
de  raaklijnen  met  raakpunt  van  het  krommenstelsel  (?  , J/)  en  voor  £ de  raaklijnen 
met.  raakpunt  van  het  oppervlakkenstelsel  (a  , v),  dan  is 
p'3=:f  , p'g',  = J,  , , p2g^  = ^ ^ 
terwijl  xp^  de  graad  van  het  aanrakingsoppervlak  is. 
Meetkundige  plaats  der  punten,  waar  de  oppervlakken  der  drie  stelsels  een 
gemeenschappelijke  raaklijn  hebben. 
“)  Stelsel  van  ooi  krommen,  waarvan  er  iJi  door  een  gegeven  punt  gaan  en  vi 
een  gegeven  rechte  aanraken. 
