( 488  ) 
volgens  krommen,  wier  raaklijnen  in  de  bedoelde  lijnen zijn. 
De  raakhegel  van  M in  Arsi  is  dus  van  den  graad  a-\-b-\-c — 4^- 
Een  snijpunt  van  Br  met  een  gemeenschappelijk  gedeelte  Bst 
der  basiskrommen  B en  Bt  is  een  kegelpunt  van  M,  waarvan  de 
raakkegel  evenals  in  het  vorige  geval  door  oo^  lijnen  lyst  gevormd 
wordt.  De  raaklijnen  nir  en  nigt  in  aan  Br  en  zijn  (a  — 1)- 
en  {b  c — 3)-voudige  lijnen  van  dien  kegel.  Daar  in  het  vlak  door 
nir  en  nigt  geen  andere  lijnen  b-si  gelegen  zijn,  zoo  blijkt,  dat  de 
raakhegel  van  M in  eveneens  van  den  graad  a-\-b-\-c — 4 is'^). 
Zij  Arst  een  punt  van  een  gemeenschappelijk  gedeelte  Brst  der 
basiskrommen  B,.,  Bg  en  Bt.  Het  punt  P'  van  het  puntenpaar  PP' 
valt  in  A^rL  als  de  oppervlakken  Fr,  Fg  en  Ft  in  A^rst  hetzelfde  raak- 
vlak  Vrgt  hebben  en  elkaar  in  nog  een  punt  P var  het  door 
gaande  oppervlak  Fu  snijden.  Brengen  we  nu  een  F en  een  Fs  aan, 
die  in  Arst  hetzelfde  raakvlak  Fis  hebben,  en  door  ieder  der  c — 1 
buiten,  de  basiskrommen  gelegen  snijpunten  van  Fr,  Fg  en  Fu  een 
Ft,  waarvan  we  het  raakvlak  in  Arst  Ft  noemen,  dan  correspon- 
deeren  met  F,*  c — 1 vlakken  F/  en  met  F«  a + b — 1 vlakken 
Frs  (daar  bij  gegeven  Ft  tusschen  F-  en  F een  J),  a)-correspon- 
dentie  bestaat,  waarvan  Ft  een  der  coincidentievlakken  is).  Onder 
de  a c — 2 coincidentievlakken  Frs  Ft  zijn  er  echter  drie, 
die  geen  vlak  Frst  leveren,  nl.  de  vlakken  Frs , waarvoor  de  bijbe- 
hoórende  oppervlakken  F,-  en  Fg  met  drie  in  Hrsi  samenvallende 
snijpunten  opleveren.  Daarvoor  is  noodig,  dat  Fu  in  Hrs«  aan  de  be- 
weeglijke doorsnede  van  F,-  en  Fg  raakt.  Nu  vormen  de  raaklijnen 
dier  doorsneden  voor  alle  elkaar  in  Hrs<  rakende  oppervlakken  F,- 
en  Fg  een  kubischen  kegel,  die  de  raaklijn  nirgt  aan  Brgt  in  het 
punt  Argt  tot  dubbellijn  heeft  ^).  Deze  kegel  wordt  door  het  raakvlak 
Deze  graad  kan  ook  bepaald  worden  uit  het  aantal  lijnen  Irst  in  een  wille- 
keurig door  Arst  gaand  vlak  ?.  In  dit  vlak  krijgt  men  een  (c — 1,  apb  — ’ü)- 
correspondentie  tusschen  lijnen  hs  en  lijnen  h,  waarvan  echter  de  snijlijn  van  t met 
het  raakvlak  in  Arst  aan  Fu  coincidentiestraal,  maar  geen  lijn  hst  is. 
2)  Dit  blijkt  direct  als  men  voor  {Fr)  een  vlakkenbundel  neemt  en  voor  {Fs) 
een  bundel  kwadratische  oppervlakken,  alle  gaande  door  den  drager  Br  van 
den  vlakkenbundel.  De  beschouwde  kegel  wordt  dan  de  kegel  der  door  een  gegeven 
punt  van  Br  gaande  beschrijvende  lijnen  van  de  kwadratische  oppervlakken.  Men 
overtuigt  zich  verder  gemakkelijk,  dat  hetzelfde  resultaat  ook  voor  willekeurige 
oppervlakkenbundels  geldt. 
