( 489  ) 
in  aan  volgens  drie  lijnen  gesneden,  die  met  mrst  verbonden 
vlakken  Vrs  opleveren,  die  wel  coincidentievlakken  Vrs  Vi,  maar 
geen  vlakken  Vrst  zijn.  Er  zijn  dus  a-f-è-j-c — 5 vlakken  Vrsu  die 
de  raakvlakken  van  M in  het  punt  Afst  zijn,  m.  a.  w.  Brst  is  een 
{a  ^ — ^)-voucUge  kromme  van  het  oppervlak  M. 
9.  Vervolgens  beschouwen  we  een  gemeenschappelijk  punt  Arstu 
der  vier  basiskrommen.  Men  krijgt  een  punten  paar  PP'  metinM,.s<,{ 
vallend  punt  P',  als  Fr,  Fs,  Ft  en  Fu  in  Arstu  een  gemeenschappe- 
lijke raaklijn  Irsta  hebben  en  nog  eens  alle  door  een  zelfde  punt  P 
gaan.  De  oo^  lijnen  Irstu  vormen  den  raakkegel  van  M in  Arstu-  Om 
het  aantal  lijnen  Irstu  in  een  willekeurig  door  Arstu  gaand  vlak  e te 
bepalen,  nemen  we  in  dit  vlak  een  willekeurige  lijn  kst  door  Arstu 
en  brengen  door  de  d — 1 buiten  de  basiskrommen  gelegen  snijpunten 
der  aan  kst  rakende  oppervlakken  F,-,  Fs  en  Ft  oppervlakken  Fu 
aan,  wier  raakvlakken  in  Arstu  het  vlak  e volgens  lijnen  snijden,  die 
we  lu  noemen.  Met  l-st  correspondeeren  nu  d — 1 lijnen  k en  met 
lu  a -j-  ^ + c — 2 lijnen  l-st,  daar  bij  gegeven  4 tusschen  k-s  en  I een 
(c,  a 6)-correspondentie  bestaat,  waarvan  k en  de  snijlijn  van  ? met 
het  vlak  door  de  raaklijnen  in  Arstu  aan  B,-  en  Bs  coincidentiestralen 
maar  geen  lijnen  kst  zijn.  Er  zijn  dus  a + — 3 coinci- 
dentiestralen ïrst  k,  waarvan  er  echter  drie  geen  lijnen  k-stu  zijn.  De 
gemeenschappelijke  raaklijnen  in  Arstu  der  oppervlakken  Fr,  Fg  en 
Ft,  die  drie  in  Arstu  vallende  snijpunten  bezitten  en  waarbij  dus  de 
snijkromme  van  twee  dier  oppervlakken  aan  het  derde  een  aanraking 
van  de  2'^'^  orde  vertoont,  vormen  nl.  een  kubischen  kegeP),  waarvan 
de  snijlijnen  met  f coincidentiestralen  maar  geen  lijnen  Irstu  zijn.  In 
B liggen  dus  — 6 lijnen  kstu,  a.  w.  de  raakkegel 
van  M in  Arstu  is  van  den  graad  a -j-  è -f-  c -1-  c/  — 6 ^). 
h Dit  blijkt  weer  door  voor  {Fr)  en  {Fs)  vlakkenbundels  met  snijdende  dragers 
Br  en  Bs  te  nemen  en  voor  {Ft)  een  bundel  kwadratische  oppervlakken  gaande 
door  een  lijn,  die  het  snijpunt  S van  Br  en  Bs  bevat.  De  snijlijn  der  vlakken  Fr  en 
F,  vertoont  alleen  dan  aan  Ft  een  aanraking  van  de  2de  orde  als  die  snijlijn 
geheel  op  Ft  ligt,  zoodat  de  beschouwde  kegel  weer  de  kegel  der  door  S gaande 
beschrijvende  lijnen  van  de  kwadratische  oppervlakken  wordt, 
2)  Die  graad  kan  ook  gevonden  worden  uit  de  snijlijnen  met  het  vlak  Vrs  door 
de  raaklijnén  en  Ms  in  Arstu  aan  Br  en  Bs.  Die  sniilijnen  zijn : de  (a  — l)-maal 
lijn  mr,  de  {b  — l)-maal  tellende  lijn  mj  en  c -j-  cZ  — 4 andere  lijnen.  Dit  laatste 
aantal  vindt  men  door  in  het  vlak  F«  door  Arstu  een  willekeurige  lijn  It  te  trekken. 
Het  aan  h rakende  oppervlak  Ft  snijdt  de  aan  Vrs  rakende  oppervlakken  Fr  en 
F,  buiten  de  basiskrommen  m d — 1 punten,  waardoor  we  oppervlakken  Fu  aan- 
brengen, wier  raakvlakken  in  Arstu  het  vlak  Vrs  volgens  lijnen  snijden,  die  we 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XV.  A".  1906/7. 
