( 491  ) 
snijpunt  meer  in  J^rJu  valt,  hetgeen  vijfmaal  gebeurt  *).  Er  blijven 
dus  a b c d — 7 vlakken  Vrstu,  over,  die  de  raakvlakken 
van  M in  het  punt  zijn,  zoodat  Brsta  een  (u+è  + c + J— 7> 
voudige  hroinme  van  M is. 
10.  We  vinden  dus  : 
Van  de  eigenlijke  meetkundige  plaats  M der  jmntenparen  P en  P' 
is  de  basiskromme  Br  van  den  bundel  {F,)  een  {a  — Vyvoudige,  het 
gemeenschappelijke  stuk  Brs  der  basiskrommen  Br  en  Bs  een  («  -j-  6 — 3)- 
voudige,  het  gemeenschappelijke  stuk  Brst  der  basiskrommen  Br,  Bs  en 
Bi  een  {a  b c — l))-voudige  en  het  gemeenschapjyelijke  stuk  Brsta 
der  vier  basiskrommen  een  {a  b e d — lyvoudige  kromme.  De 
snijpunten  der  basiskrommen  zijn  kegelpunten  van  M en  loel  is  een 
.mijpunt  van  Br  en  Bg  een  (jx  b — ‘l)-voudig  punt,  een  snjpunt  van 
Br,  Bs  en  Bt  of  van  Br  en  Bst  een  ia  b e — P)-voudig  punt  en 
een  snijpunt  van  Br,  Bg,  Bt  en  Ba  of  van  B,.,  Bg  en  Bta  of  van 
Brs  en  Bta  of  van  B,.  en  Bgta  een  (a  -f-  6 -[-  c -f-  e/  — Q)-voudiq  punt  ^). 
11.  De  basiskrommen  der  bundels  zijn  niet  de  eenige  bijzondere 
krommen  van  het  oppervlak  M.  Er  zijn  nl.  oo^  puntentripels,  die  op 
een  oppervlak  van  ieder  der  bundels  liggen.  Deze  puntentripels 
vormen  een  dubbelkromme  van  M.  Is  P,  P\  P ' zulk  een  tripel  en 
zijn  P{  en  P2  de  door  P gaande  bladen  van  het  oppervlak,  dan 
correspondeeren  daarmede  de  bladen  F\  en  P"2.  Door  P'  gaat 
dan  nog  een  blad  en  door  P"  een  blad  P"3,  welke  bladen 
onderling  correspondeeren.  Buiten  de  basiskrommen  is  het  punten- 
paar  verschuifbaar  over  de  bladen  PI,  P'1,  over  de  bladen  P2,  P"2 
1)  Dit  aantal  vyf  vindt  men  aldus.  De  raaklijnen  der  beweeglijke  doorsneden 
van  elkaar  in  rakende  oppervlakken  Fs  en  Ft  vormen  een  kubisclien  keoel 
die  de  raaklijn  m.gtu  aan  Br.uu  tot  dubbellijn  heeft.  Zulk  een  doorsnede  vertoont 
aan  een  oppervlak  Fr  een  aanraking  van  de  2de  orde  als  ze  aan  de  beweeglijke 
doorsnede  van  Fr  en  Ft  raakt,  dus  als  haar  raaklijn  in  ligt  op  den  kubiseben 
kegel  behoorend  bij  de  bundels  {Fr)  en  {Ft).  Daar  deze  laatste  kegel  eveneens 
Mr  iu  tot  dubbellijn  heeft,  hebben  beide  kegels  9 - 4 = 5 van  mrstu  verschillende 
snylijnen,  die  met  mniu  verbonden  de  bedoelde  vijf  vlakken  opleveren. 
2)  Is  de  totale  meetkundige  plaats  niet  onbepaald,  d.  w.  z.  is  er  geen  aan  drie 
b^iskrommen  gemeenschappelijk  stuk  en  geen  aan  de  vier  basiskrommen  gemeen- 
schappelijk punt,  dan  is  Br  van  die  totale  meetkundige  plaats  een  {stu  — 1). 
TOudige  en  Brs  een  {stu  + rlu  — 2)-voudige  kromme,  terwijl  een  snijpunt  van 
Br  en  Bs  een  {stu  + rtu  — 2)-voudig  en  een  snijpunt  van  B,-,  B,  en  Bt  of 
Br  en  Bsé  een  (stu  -f-  rt7/r  -)-  rsti  — 3)-voudig  punt  is, 
33* 
van 
