( -^72  ) 
3.  Uit  de  van  1873  en  1875  dagteekenende  onderzoekingen  van 
F.  Klein  en  H.  G.  Zeüthen  is  gebleken,  dat  het  oppervlak  0^  met 
27  bestaanbare  rechte  lijnen  tien  openingen  en  de  parabolische  kromme 
tien  ovaalvormige  takken  heeft.  In  verband  hiermee  vinden  we: 
,,De  meetkundige  plaats  heeft  tien  ovaalvormige  takken.” 
We  vragen,  welke  ligging  der  zes  basispunten  Ai  overeenkomt 
met  het  bijzondere  geval  van  het  ,, diagonalenoppervlak”  van  Clebsch, 
waarbij  de  tien  ovaalvormige  takken  der  kromme  zich  tot  geïso- 
leerde punten  hebben  samengetrokken.  lu  dit  geval  gaan  de  15  lijnen 
met  bestaanbare  asymptotenpnnten,  d.  i.  in  ons  geval  de  lijnen  c',-^  , 
tienmaal  drie  aan  drie  door  een  punt;  hieraan  is  voldaan  door  het 
zestal  punten  bestaande  uit  de  vijf  hoekpunten  van  een  regelmatigen 
vijfhoek  en  het  middelpunt  van  den  omgeschreven  cirkel.  Wat  meer 
zegt,  elk  zestal  punten  met  de  bedoelde  ligging  kan  door  centrale 
projectie  in  deze  meer  regelmatige  gedaante  worden  gebracht.  De 
tien  punten  van  samenkomst  der  drietallen  van  lijnen  vormen  dan 
weer  de  hoekpunten  van  twee  regelmatige  vijfhoeken  (tig.  1).  De 
met  dit  zestal  basispunten  overeenkomende  kromme  bestaat  dan 
uit  louter  geïsoleerde  punten  en  wel  viervoudige  in  de  zes  basispunten 
en  tweevoudige  in  de  tien  punten  van  samenkomst  der  lijnendrietallen. 
De  opmerking,  dat  de  bij  het  zestal  basispunten  van  fig.  1 be- 
hoorende  kromme  k'^'^  de  lijn  tot  as  van  symmetrie  heeft  en  bij 
draaiing  over  72°  om  A^  in  zich  zelf  overgaat,  stelt  ons  in  staat  op 
