( 577  ) 
Met  het  hier  beschouwde  geval  der  in  vier  driemaal  tellende  lijnen 
opgeloste  stemt  de  parabolische  kromme  van  het  oppervlak  O* 
met  vier  dubbelpunten  overeen. 
5.  We  beschouwen  in  de  derde  plaats  nog  het  bijzondere  geval 
van  zes  op  een  kegelsnee  gelegen  basispunten,  waarin  het  lineaire 
stelsel  van  kubische  krommen  een  net  van  krommen  bevat,  die  in 
een  kegelsnee  en  een  rechte  lijn  ontaarden ; bij  dit  net  van  ontaarde 
krommen  is  de  kegelsnee  dan  telkens  weer  de  kegelsnee  P door  de 
zes  basispunten,  de  rechte  lijn  een  willekeurige  rechte  van  het  vlak. 
Dit  geval  kan  op  eenvoudige  wijs  in  verband  gebracht  worden  met 
een  oppervlak  O®  met  een  dubbelpunt  O.  Projecteert  men  dit  opper- 
vlak uit  het  dubbelpunt  O op  een  niet  door  dit  punt  gaand  vlak  «, 
dan  projecteeren  de  vlakke  doorsneden  van  het  oppervlak  zich  als 
kubische  krommen  gaande  door  de  zes  snijpunten  van  « met  de  door 
O gaande  lijnen  van  het  oppervlak;  omdat  deze  zes  lijnen  op  een 
kwadratischen  kegel  liggen,  liggen  de  zes  snijpunten  met  « op  een 
kegelsnee.  Bovendien  projecteeren  de  doorsneden  met  vlakken  door 
O zich  als  rechte  lijnen ; derhalve  is  de  aanvullende  kegelsnee  h' 
klaarblijkelijk  als  de  afbeelding  van  het  dubbelpunt  O te  beschou- 
wen. Natuurlijk  moeten  we  ons  daarbij  weer  voorstellen,  dat  punt 
voor  punt  overeenkomt  met  de  oneindig  dicht  bij  O gelegen  punten 
van  O’;  immers  h'^  is  de  doorsnee  van  a met  den  kegel  der  raak- 
lijnen aan  O®  in  O. 
Wijl  met  een  harer  raaklijnen  een  kromme  van  bet  lineaii-e 
stelsel  vertegenwoordigt,  behoort  deze  kegelsnee  minstens  tweemaal 
tot  de  meetkundige  plaats  der  keerpunten.  Ook  hier  is  deze  meet- 
kundige plaats  van  oneigenlijke  keerpunten  met  doorloopende  takken 
driemaal  in  rekening  te  brengen,  zoodat  de  eigenlijke  meetkundige 
plaats  een  kromme  van  den  zesden  graad  h’'  is,  die  in  de  zes 
basispunten  aanraakt. 
Onderstellen  we,  dat  een  cirkel  is  en  de  zes  basispunten  (fig.  4) 
op  dien  cirkel  de  hoekpunten  vormen  van  een  regelmatigen  zeshoek, 
dan  heeft  de  kromme  h''  den  vorm  van  een  rozet  met  zes  bladen, 
die  het  middelpunt  O'  van  den  cirkel  en  de  oneindig  ver  verwijderde 
punten  van  de  middellijnen  A^A^,  A^A^,  AtA^  tot  geïsoleerde  punten 
heeft.  Van  de  tien  ovalen  zijn  er  dan  vier  tot  punten  samengetrokken, 
terwijl  de  zes  overige  zich  vereen igd  hebben  tot  den  cirkel  der 
basispunten  en  de  kromme 
Neemt  men  het  punt  O tot  oorsprong  en  de  lijn  OA^  tot  .^-as 
van  een  rechthoekig  coördinatenstelsel  aan,  dan  vindt  men  als  OA^ 
lengte-eenheid  is,  \ oor  de  vergelijking  van  k" 
