( 579  ) 
afkomstig  zijn  van  samengestelde  kubische  krommen  met  een  dub- 
bellijn;  er  is  dan  geen  eigenlijke  meetkundige  plaats.  Werkelijk  kan 
bij  een  enkelvoudige  kubische  kromme  met  een  keerpunt  het  geval 
(2,  2,  2)  van  een  in  drie  punten  rakende  kegelsnee  niet  optreden. 
De  gevallen  (4,  2)  en  (6)  zijn  als  in  het  voorgaande  begrepen  te 
beschouwen.  Door  twee  der  hoekpunten  of  de  drie  hoekpunten  van 
den  juist  beschouwden  driehoek  te  doen  samenvallen,  vindt  men 
voor  het  geval  (4,  2)  de  verbindingslijn  der  beide  basispunten  vier- 
maal en  de  raaklijn  aan  de  kegelsnee  in  het  basispunt  van  hoogste 
veelvoudigheid  tweemaal,  voor  het  geval  (6)  de  raaklijn  aan  de 
kegelsnee  in  het  voor  zes  basispunten  tellende  punt  zesmaal.  Dat  er 
in  het  laatste  geval  geen  eigenlijke  meetkundige  plaats  kan  zijn, 
volgt  ook  hieruit,  dat  een  enkelvoudige  kubische  kromme  met  keer- 
punt geen  sextactisch  punt  toelaat. 
è)  H e t geval  (3,  3).  Vallen  de  zes  basispunten  drie  aan  drie 
in  twee  punten  der  kegelsnee  samen,  dan  bestaat  uit  een  on- 
eigenlijk deel,  de  verbindingslijn  der  beide  punten  viermaal  geteld, 
en  een  eigenlijk  deel,  een  kegelsnee,  die  de  kegelsnee  der  basispunten 
in  deze  punten  raakt.  De  nieuwe  kegelsnee  ligt  hiiiten  de  kegelsnee 
der  basispunten. 
c)  H e t geval  (1,5).  Dit  geval  komt  in  veel  opzichten  met 
het  voorgaande  overeen.  We  vinden  een  oneigenlijk  deel,  de  raak- 
lijn in  het  voor  vijf  basispunten  tellende  punt  aan  de  kegelsnee  der 
basispunten  getrokken,  en  een  eigenlijk  deel,  een  kegelsnee  die  de 
kegelsnee  der  basispunten  in  deze  punten  raakt.  De  nieuwe  kegelsnee 
ligt  binnen  de  kegelsnee  der  basispunten. 
6.  Natuurlijk  is  het  mogelijk  bij  de  kromme  achtereenvolgens 
al  de  verschillende  bijzondere  gevallen  in  het  leven  te  roepen,  die 
zich  bij  de  parabolische  kromme  der  verschillende  oppervlakken 
kunnen  voordoen.  Wijl  dit  ons  hier  te  ver  voeren  zou,  beperken 
we  ons  tot  een  enkele  opmerking,  die  een  eventueele  analytische 
uitwerking  van  dit  denkbeeld  kan  vergemakkelijken. 
Volgens  de  algemeene  uitkomsten  betreffende  een  lineair  stelsel 
van  krommen  6'”  reeds  in  1879  door  E.  Caporali  verkregen  heeft 
de  meetkundige  plaats  s)  der  keerpunten  van  dit  stelsel  in  elk 
r-voudig  basispunt  van  het  stelsel  een  4(2; — l)-voudig  punt  en  boven- 
dien nog  6(w — 1)’ — 2.2’(3r’ — 2r-l-l)  dubbelpunten  C Elk  dier  punten 
6'  is  gekenmerkt  door  de  eigenschap,  dat  elke  door  dit  punt  gaande 
kromme  van  het  stelsel  in  dit  punt  door  een  bepaalde  lijn  c wordt 
aangeraakt. 
Voor  het  geval  n=3  der  kubische  krommen,  dat  ons  bezighoudt. 
