( 820  ) 
IV.  We  gaan  nu  over  tot  het  algemeen  evenwicht  van  krachten 
en  rotaties.  Hierbij  zal  het  doelmatig  zijn  onder  p,  :t,  a,  a eenhekh- 
vectoren  te  verstaan,  en  de  intensiteit  dezer  vectoren  door  een  factor 
aan  te  duiden. 
Het  zal  voldoende  zijn  ons  te  bepalen  tot  het  evenwicht  van 
krachten,  de  behandeling  van  het  duale  geval  den  lezer  overlatend. 
In  de  eerste  plaats  beschouwen  we  het  geval  van  n krachten, 
n ^ 10,  werkende  in  willekeurig  gegexen  lijnen. 
Het  spreekt  van  zelf,  dat  voor  het  evenwicht  noodig  en  voldoende 
is,  dat  de  intensiteiten  voldoen  aan  de  tien  voorwaarden ; 
^ pM  0 (9) 
We  kunnen  derhalve  in  ’t  algemeen  op  n — 10  vectoren  wille- 
keurige intensiteiten  brengen,  die  op  de  overige  tien  worden  dan 
door  bovenstaande  vergelijking  (9)  bepaald. 
In  ’t  bijzonder,  voor  n = M geldt  dan  de  stelling : Bij  vectoren  in 
11  lüilleceurig  gegeven  lijnen  behoort  in  H algemeen  slechts  één  ver- 
deeling  van  intensiteitsverhouclingen  zoo  dat  het  stelsel  op  die  lijnen 
in  evenwicht  is. 
De  algemeenheid  A an  ’t  geval  wordt  omschreven  door  den  eisch, 
dat  er  geen  10  lijnen  tot  eenzelfde  lineaire  voorwaarde  kan  geschre- 
ven worden  in  den  vorm  ^ = 0,  Avaarin  de  coëfficiënten  ctj, 
tengevolge  van  een  welbekende  eigenschap  van  verdwijnende  deter- 
minanten, niet  afhangt  van  v. 
Zijn  er  dus  onder  n lijnen  hoogstens  10  die  tot  een  lineair  com- 
plex behooren,  dan  kan  men  aan  de  vergelijkingen  (9)  voldoen  door 
alle  intensiteiten  behalve  de  - bij  deze  10  behoorende  gelijk  0 te 
kiezen,  en  dan  zal  men  (indien  niet  alle  subdeterminanten  der 
orde  verdwijnen)  op  deze  laatsten  slechts  één  van  0 verschillende 
intensiteitsverdeeling  kunnen  brengen  zóo  dat  ook  het  hierdoor  ver- 
kregen krachtenstelsel  in  evenwicht  is. 
We  zijn  dus  met  een  gekomen  tot  de  volgende  stellingen: 
Voor  het  evenwicht  van  10  krachten  is  noodig  dat  deze  behooren 
tot  één  en  hoogstens  één  lineair  complex.  Daarbij  is  dan  steeds  één 
en  niet  meer  dan  één  intensiteitsverdeeling  niogelijh. 
Zetten  wij  het  onderzoek  der  vergelijkingen  (9)  voort,  don  komen 
we  successievelijk  tot  de  evenwichtsvoorAvaarden  van  9,  8,  7,  6,  5 
krachten.  Het  resultaat  kunnen  wij  als  volgt  uitspreken  : 
Opdat  n krachten,  11  j>  n ^ 4,  slechts  ééne  intensiteitsverdeeling 
toelaten  loaarbij  zij  in  evenwicht  zijn,  is  het  noodig  en  voldoende,  dat 
zij  behooren  tot  de  gemeenschappelijke  elementen  van  juist  21  - n 
lineaire  complexen. 
