( 872  ) 
H,,  waarvoor  de  som  der  afstanden  tot  de  n gegeven  ruimten  7?^ 
een  bepaalde  waarde  heeft”. 
Wil  men  zich  niet  in  algemeenheden  verliezen,  dan  is  men  genood- 
zaakt zich  tot  enkele  groepen  van  bijzondere  gevallen  van  dit  alge- 
meene  vraagstuk  te  bepalen.  In  deze  richting  heeft  de  schrijver  een 
gelukkige  keus  gedaan.  Hij  blijft  zich  beperken  tot  de  gevallen, 
waarin  de  meetkundige  plaats  van  een  punt  gevraagd  wordt,  en 
neemt  aan,  dat  de  n gegeven  ruimten  . . . , hetzelfde 
aantal  afmetingen  g-  hebben.  In  het  eerste  hoofdstuk  onderstelt  hij, 
dat  dit  aantal  q een  eenheid  minder  is  dan  het  aantal  afmetingen  p 
der  dragende  ruimte  Rj, ; daaraan  voegt  hij  in  het  tweede  hoofdstuk 
het  geval  toe,  dat  in  onze  ruimte  R^  n rechte  lijnen  — en  inciden- 
teel ook  n punten  — gegeven  zijn. 
Het  eerste  hoofdstuk  is  ^'erdeeld  in  drie  paragraphen,  waarin  de 
dragende  ruimte  achtereenvolgens  een  vlak,  onze  ruimte  R^  en  de 
ruimte  Rd  met  d afmetingen  is.  Wijl  de  schrijver  onder  afstand  hier 
de  absolute  waarde  beschouwt  en  dus  geen  rekening  houdt  met  het 
analytische  onderscheid  in  teeken,  is  de  meetkundige  plaats  in  het 
platte  vlak  de  omtrek  van  een  convexen  veelhoek,  in  de  ruimte  R^ 
het  oppervlak  van  een  convex  veelvlak,  in  de  ruimte  Rj  de  begren- 
zing van  een  convex  polytoop ; van  deze  tiguren  vertoonen  het 
polyeder  en  het  polytoop  in  dien  zin  een  bijzonder  karakter,  dat  ze 
vlakken  en  ruimten  Ri  toelaten,  die  ze  uitsluitend  volgens  ribben  en 
i — 1 -dimensionale  grenspolytopen  snijden.  Met  groote  nauwkeurig- 
heid worden  van  het  de  meetkundige  plaats  vormende  polytoop  de 
aantallen  der  hoekpunten,  ribben,  zijvlakken,  grenslichamen,  enz. 
bepaald;  deze  aantallen  blijken  naar  behooren  te  voldoen  aan  de 
voor  het  convexe  polytoop  geldende  uitbreiding  der  bekende  wet 
van  Eüler. 
In  het  tweede  hoofdstuk,  dat  verreweg  het  belangrijkste  is,  be- 
paalt de  schrijver  de  meetkundige  plaats  der  punten,  waarvan  de 
afstanden  tot  n gegeven  rechten  onzer  ruimte  een  gegeven  som 
opleveren.  In  plaats  van  een  door  platte  vlakken  begrensd  veelvlak 
levert  het  analytisch  onderzoek,  waarbij  de  algebraïsche  som  der 
afstanden  de  som  der  absolute  waarden  gaat  vervangen,  een  veel- 
bladig  oppervlak  van  den  gi-aad  2"  op,  waarvan  een  bepaald  blad 
aan  het  geval  der  absolute  afstanden  beantwoordt;  natuurlijk  is  dit 
blad  alleen  dan  bestaanbaar  als  de  gegeven  som  der  afstanden  een 
bepaald  minimum  overtreft.  In  het  algemeen  hangen  twee  bij  ver- 
schillende teekencombinaties  der  afstanden  behoorende  bladen  van  de 
geheele  meetkundige  plaats  slechts  in  het  oneindige  samen  en  ^'er- 
