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II. jMethodik der Eiinessiingen. Das G a u .s s ’sclie Fehlergesetz. 
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Weite in bestimmtem Yerliültiiisse seltener sind als kleine, dass mit andern Worten die llänfi«keit oder Wahr- 
selieinliehkeit eines Beobaelitnngsfehlers eine Funktion seiner Grösse ist. Wenn y die Wahrseheinliclikeit eines 
Fehlers von der Grösse x ist, so <>'iebt die obige Gleielnmg diese Bezielmngen zwiselien y nnd x an. ln ihr 
bedeutet e die Basis der natürlichen Logarithmen = 2,71828 nnd — (1) = ]/ (la) eine Konstante, die 
je nach der Schärfe der Beobachtungsart verschieden ist. 
Übertragen auf die individuelle Variabilität näehstverwandter Organismen besagt dieses Gauss’sche 
Gesetz, dass die auf alle gleichartigen Individuen einwb’kenden gemeinsamen Lebensbedingnngen gleichsam 
bestrebt sind, in jedem einzelnen Falle denselben Wert einer Eigenschaft zn erzeugen (den normalen, mittleren, 
G'])isehen Charakter derselben), dass dies aber niemals völlig gelingt, die Natur vielmehr bei jedem Individuum 
einen gewissen Fehler macht, dessen Grösse und Häufigkeit eben jenem Wahrseheinlichkeitsgesetze folgt. Vde 
dort so bezeichnet auch hier eine gewisse Konstante ^ ^ Ü ‘/7 « ) die jedesmalige Schärfe, mit der die 
Natur bei ihren Versuchen zur Erzeugung des typischen Wertes verfährt. Es ist klar, dass diese Konstante 
ein Maß von dem ist, was wir „Variationsgrad“ oder „Variationsbreite“ einer Eigenschaft nennen. 
Mit Hülfe der auf das G a u s s ’ s c h e Gesetz aufgebauten (Methode der kleinsten (Quadrate lässt 
sieh leicht berechnen, wie weit die Erfahrung, d. h. die em])iriseh gefundenen Werte einer (Messungsreihe, mit den 
theoretischen Forderungen jenes Gesetzes in Einklang stehen. Die (Messung von 200 künstlieh befruchteten 
Seholleneiern ergiebt beis[)ielsweise folgende em])irische Zahlen : 
Strich (E) 60 — 61 — 62 — 63 — 64 
Empir. Eizahlen 2 -f 53 -j~ ^12 -|- 29 -f- 4 — 200 
Das arithmetisehe (Mittel A aller (Messungen ist gleich 61,90. (Man berechnet mm die Abweichungen 
d jeder einzelnen Messung vom (Mittel, quadriert dieselben, bildet die Summe dieser (Quadrate (S c/^), 
dividiert dieselbe durch die Anzahl m der Einzehnessungen ( ?-^), zieht die (iuadratwurzel daraus ' 
' 11^ T m 
und erhält damit die Whirzel aus dem s. g. mittleren Abweiehungsipiadrat --= q — 0,756 in unserm Falle. 
Von q gelangt man durch MultiplUvation mit 0,6745 zu dem Wert ic, hier = 0,51, der s. g. wahr- 
scheinlichen Abweichung der Einzelmessung.*) Von q sowohl wie von w aus gelangt man dann weiter 
zn den Integral weiden t, die angeben, wie viele EinzclabAveiclmngen theoretisch nach dem G a u s s ^ s c h e n 
Gesetz zwischen bestümnten AbAveichungsgrenzen liegen müssen, z. B. zAvischen den Alweielumgen — 0,40 
und — 1,40 A’on A = 61,90 oder zwischen den Eigrössen 61,50 und 60,50 Strich. Dies bedeutet, Avie man sich 
aus den früheren Enörterungen (S. 140) erinnern AAÜrd, die Zahl A’on Eiern, die zu 61 Strich gehören. Be- 
rechnet man auf diese Weise die ganze theoretische Reihe für die 200 Scholleneier, so ergiebt sieh: 
Strich (E) 60 — 61 — 62 — 63 — 64 
Theor. Eizahlen 6 -j- 53 -|- 98 -j- 39 -j- 4 = 200 
Die Uebereinstimmnng der empirischen nnd theoretischen Zahlen ist keinesAvegs A'ollständig, jedoch 
immerhin eine so grosse, dass die Gültigkeit des IGldergc'setzes für das Variieren des Eidurehmessers in diesem 
Falle als erAviesen gelten kann. 
Um dies zu verstehen, ist zu bemerken, dass die volle Gültigkeit des G a u s s ’ sehen G esetz.e s genau 
genommen eine unendliehe Zahl von Einzelmessimgcn (also m -= X) ) soAvie eine A’ollkommene Synmu'trie der 
AbAA'eichungen voraussetzt, d. h. in letzterer Beziehung die Annahme enthält, dass positive AbAveiehungen A'on 
dem Avahren Wert des zu messenden Objektes ebenso Avahrscheinlieh siml, Avie m'gativc, dass somit irgend 
einer positiven AbAveiehnng von der Grösse x ('ine elx'iiso grosse negative AbAveiehung auf der andern Seite 
des (Mittels entspi'ieht. 
Betrachten Avir A'on diesen beiden Voraussetzungen des G a u s s ’ s e h (> n Gesetzes zunächst nur 
di(' der nnendliclien Grösse von m, so erhellt, dass die Ubereinstinnnnng der empiriselu'n mit (h'r theorcdischen 
Messungsreihe eine Funktion der Zahl i/t und um so grösser sein Avird, je grösser vu selbst ist, d. h. je mehr 
*) Die A'ertc 7 mul w werden hoi ICollekfivgcgensOlndcn de.s Tier- und PlIanzenreiclicH iuicli als a r i a t i n n s - oder 
\’’ a r i a 1) i 1 i t ä t s - K o e f f i z i e n t e n“ bezeichnet. Wir nohinen hier als solchen Variations-Ko('fi'izicntcn stets w, d. h. den 
Avahrschciidichcn Fehler des Finzehvertes. 
