152 Fr. Heincke u. E. p}hrenbauni, Die Bestimmung der schwimmenden Fi.scheier und die ^Methodik der Eimessungen. 
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der o, , d. li. derjenigen Einzehverte, die kleiner als der Hauptwert A sind, also unter ihm liegen, und mit 
m' die Zahl der a' , d. h. der Einzelwerte, die grösser als der Hanptwert sind, also über ihm liegen; wobei 
also m, 4- m' = m. Ist Sa die Summe aller Einzelwerte, mithin ^ = A, so ist ^ a, die Summe aller 
Einzelwerte n, , die sämtlich kleiner als A sind, und ^ a' die Summe aller a ' , die sämtlich grösser als A 
sind. Bezeichnet man mit (“) allgemein die Abweichungen von dem Hanptwerte A, so sind in unserni Ealle 0, die 
^Abweichungen der a, , also die negativen, 0' die positiven Abweichungen von A. 
0 
oder 
0, -f ^ 0' 
ist die sog. mittlere Abweichung aller a vom Hau])twerte ohne Rücksicht :iut’ ilir Vorzeichen, 
0 , 
mittlere neo-ative und 
0 ' 
m, 
e, die 
s' die mittlere positive Abweichung. Alit m' — m, = 7i wird allgemein der 
Unterschied zwischen der Zahl der positiven und negatl\'en Abweichungen bezüglich des Hau})twei'tes be- 
zeichnet. Alit 2 (“udlich bezeichnet man die Zahl der Einzelobjektc' a, die eine gleiche oder als gleich ange- 
nommene Grösse haben, z. B. die Zahl aller Eier, dc'ren Ihirehmesser 61 Striche beträgt. 
Die für unsere Zwecke wichtigsten Ha uj)t werte einer asymmetrischen Variationsreihe sind mm 
folgende: (vergl. Eechner 30, X, 160 ff.). 
1. Das arithmetische Mittel A. Er ist besthnmt dadurch, dass er in Beziehung auf die 
Grösse der Einzelobjekte a die jMitte der Reihe bildet und dass somit, auf ilm bezogen, die Summe der 
negativen Abweichungen 0,) — der Summe der positiven 0') und die Summe der (Quadrate aller Ab- 
weichungen (S0^) ein Alinimum ist. 
2. Der Zentral wert C. Er ist bestimmt dadurch, dass er in Beziehung auf die Zahl der 
Einzelobjekte a die Mitte der Reihe bildet, dass somit, auf ihn bezogen, die Zahl der negativen Abweichungen 
m, = der Zahl der positiven in' ist und zugleich die Summe aller Abweichungen (S0) ein Minimum ist. 
Er kann auch als „wahrscheinlicher Wert‘^ eines Kollektivgegenstandes bezeichnet werden, insofern, 
als er ebenso oft über-, wie untcu-sehritten wird. 
6. Der dichteste e r t D. hlr ist dadurch be.stimmt, dass die auf ihn fallende Zahl z der 
Einzelobjekte ein Maximum ist (die grösste Ordinate der Variationskurve) und dass sich, auf ihn bezogen, die 
Zahl der negativen zur Zahl der [)Ositiven Abweichungen verhält, wie die mittlere negative zur mittleren 
positiven Abweiehung, also m, : in ~ : s' . 
Die Lage dieser drei Hauptwerte zu einander ist durch das sog. Lagengesetz (Eechner, 30, S. 71 ff.) 
genau bestimmt (s. Fig. 1, 8. 150). Der Zfuitralwert C liegt stets zwischen D und A und die Abstände der drei 
V'erte folgen unter der Voraussetzung verhältnissmäsig geringer Asymmetrie der Regel, dass a n n ä h e r n d 
p = = 4 = 
Je grösser die Asvmmetrie einer Alcssungsreilie ist, desto weiter fallen die drei Hauptwerte A, C und 
1) auseinander, desto ungleicher werden also auch die beiden Seiten der Variationskurve bezüglich D, dem 
die grösste Ordinate, also der Gipfel der Kurve entsjnicht. Je kleiner die Asymmetrie ist, um so mehr nähern 
sich umgekehrt die Hauptwerte einander und bei völliger Symmetrie der Variabilität, die die Voraussetzung 
des einfachen G. G. bildet, fallen sie alle drei in denselben einen Wert zusammen, wie leicht ersichtlich ist. 
Denn bei vollkommener Symmetiie ist b(‘züglich des Hauptwertes, zu dem der Gipfel der Variatiouskurvo 
gehört, ?/i, = m' und ^ 0, = S 0' , weil irgend einer negativen Abweichung stets eine gleichgrosse positive 
entspricht, mithin auch £, = £' und ?», : m' = £,:£'. Beim Zutreffen des einfachen G. G. ist also 
das arithmetische Mittel A zugleich der Zcmtralwert C'jind der dichteste oder häufigste, d. h. der wahrschein- 
lichste AVert D. 
Da, wie schon oben bemerkt wurde, auch bei vollkommenem Zntreffen des einfachen G. G., (‘inpirisch 
doch in jedem Falle Avegen unausgeglichener Zufälligkeiten ein gcAvisser Grad von sog. u n w e s e n t 1 i c h e r 
Asymmetrie beobachtet Avird, der bei genauer Messung der Einzelobjekt(“ nur von der Zahl der h'tztenm 
abhängt, so gilt es die AA’ahrseheinliehc Grösse dieser unAvesentliehen Asymmetrie zu IxTeelmeu, um beurteilen 
zu können, ob neben ihr noch eine Avesentliehe AsA’inmetrie besteht. Um dies Ziel zn eiTciehen, bezeichnet 
man den Grad d(‘r .Vsymmetrie dadurch, dass man den Wert n •= m' — m, bc'zügiieh A Ix'stimmt und 
untersucht, Avie gross derselbe mit Wahrscheinlichkeit, d. h. der Sicherheit 1 gegen 1, erAvartet Averden kann, 
