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V. Hensen, Ergänzungen und Berichtigung etc. 
16.5 
Die vorstehende Figur zeigt den Verlauf von p unter der Annahme A = 2, c = 10. Dabei ist für 
q = 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
p = 2,00 —1,80 —1,60 —1,40 —1,20 —1,00 —0,79 — 0,.57 —0,29 +0,15 +1,00- 
Der Werth liegt also hier zwischen 0,8 und 0,9. Indem man hiervon ausgeht, findet man leicht, 
dass auf 6 Decimalstellen genau 
qo ^ 0,872367 . . . 
ist. 
3. 
Die Form der Gleichung (3) lässt erkennen, dass es vortheilhaft sein wird, zunächst x als Funktion 
von q anzusehen und erst nachher dem x die Rolle der unabhängigen Veränderlichen zuzuweisen. Dabei 
variirt q von qo bis 1. Für q = qo wird qQ>‘ = 0, und das ist nur möglich, wenn x positiv unendlich wird. 
d X 
Wächst q über qo hinaus, so muss x zunächst abnehmen, also die Ableitung ^ negativ sein. Das wird 
durch Ausrechnung bestätigt, denn aus der Gleichung 
(5) X = (q'-A"-») 
folgt durch Differentiation nach q: 
(6) ^ = £3 
dq (q^ — A(i-q)) log q q log (q)- 
sodass die rechte Seite für q = qo negativ unendlich wird. 
log q 
+ A log (q*^ — A(i -q)) 
4. 
Wenn q sich dem Werth 1 nähert, so verschwindet in dem Ausdruck für x sowohl der Zähler als 
der Nenner, der wahre Werth von x muss daher nach der Regel ermittelt werden, dass Zähler und Nenner 
bei unbestimmten q nach* q differentiirt werden und erst darauf der Uebergang zur Grenze für q = l statt- 
findet. Es wird daher; 
(7) lim X = lim ^ ^ = c + A, 
^ ’ q_l q--.l q^ — A(l-q)) ^ 
und zwar erreicht x diesen Grenzwerth, indem es abnimmt, denn es hat, wie sogleich gezeigt werden soll, 
d X 
die Ableitung ^ für q = 1 einen negativen Werth. Aus (6) folgt nämlich: 
(8) 
dq 
(cq 
C— 1 
A) q log(q) — (q'^ — An-q)) log (q*' — A(i-q)) 
(q^ — A(i-q)) . q . log (q)‘2 
sodass der Zähler für q = 1 verschwindet, während im Nenner der Faktor 
(q*^ — A(i -q)) . q 
für q = l selbst gleich 1 wird, dagegen der Faktor log (q)- ebenfalls verschwindet. Die Anwendung der 
schon vorher benutzten Regel ergiebt daher: 
lim — = lim q + A) log (q) — (cq^^-i + A) log (q«^ — Ad-q))] 
q - 1 d q q ,,, 1 
= lim (c-q'^“’ + A 
q — 1 ^ 
also ist nach Gleichung (7): 
(9) 
und das ist ein negativer Werth. 
d X 
lim 3 — = 
q 1 dq 
2 log (q) 
- (cq*^-' + A) . x), 
■ + (A + 2c-l), 
5. 
Hiermit ist festgestellt, dass x am Anfang und Ende des Intervalles, in dem q variirt abnimmt. 
Jetzt soll bewiesen werden, dass dasselbe für das ganze Intervall gilt, dass also x, wenn q von qo bis 1 
wächst, beständig abnehmend, der Reihe nach alle Werthe zwischen + oound c + A an nimmt. 
