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V. Hensen, Ergänzungen und Berichtigung etc. 
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Dazu genügt es zu zeigen, dass die Ableitung von x nach q nicht nur am Anfang und Ende des Intervalles, 
in dem q variirt, sondern in dem ganzen Intervall beständig negativ ist. Nun ist, wie Gleichung (8) zeigt, 
der Nenner dieser Ableitung, nämlich 
(q" — Ad q)) . q . log (q)- 
beständig positiv, mithin kommt alles darauf an, das Verhalten des Zählers 
(10) (cq^ + A) q log (q) — (q<^ — Ad q)) log (q-^— Ad v) = ry (q) 
zu untersuchen. Nun ist 
7 (Oo) = (cQo'^' + A) qo log (qo) 
negativ, während 
7(1) = 0 
wird. Gelingt es also nachzuweisen, dass die Ableitung von ((-(q), wenn q von qg bis 1 wächst, 
beständig positiv ist, so nimmt dabei f/)(q) selbst beständig wachsend der Reihe nach alle Werthe 
zwischen 7'(qo) und <y(l) an, ist also beständig negativ. Dieser Nachweis lässt sich aber durch folgende 
Ueberlegung erbringen. 
Indem man eine bei der Bestimmung von 
d X 
hm -5— 
q 1 dq 
bereits durchgeführte Rechnung benutzt, erkennt man, dass 
f(q) = (c-q<=-‘ + A) log (q) ~ (cq-^-’ + A) log (q^ — Ad-q)) 
ist, folglich hat man 
(/'(qo) = + 7'(1) == 0- 
Wenn also (('(q) für einen Werth von q zwischen q^ und 1 negativ wäre, so müsste die Gleichung 
7' (q) = 0 
mindestens eine Wurzel haben, die ebenfalls zwischen qg und 1 liegt. Das ist jedoch unmöglich, wenn 
nämlich q von 1 verschieden ist, lässt sich die Gleichung y'(q) = 0 umformen in die Gleichung 
c‘"q^-‘ + A ^ log (q^- Ad-q)) _ 
^ ’ cq<=-‘ + A log (q) 
Es ist aber, wie man sofort erkennt, sobald c grösser als 1 ist; 
o-q*^ ' + A 
cq^ ' + A ^ ’ 
dagegen x > c, 
denn man hat nach Gleichung (3); q’^ \ qS 
während q ein positiver echter Bruch ist. Mithin führt die Annahme, dass die Gleichung (11) für einen 
Werth von q zwischen qg und 1 identisch erfüllt ist, auf einen Widerspruch, und es ist daher, wie behauptet 
wurde, (f' (q) stets positiv und (f (q) stets negativ. 
6 . 
Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich für den Verlauf der Funktion q von x folgendes Bild. 
Damit q Werthe zwischen 0 und 1 annehmen kann, muss x > c + A sein. Für x = c + A wird 
q=l. Wächst X über diesen Werth hinaus, so nimmt q beständig ab und nähert sich 
asymptotisch dem Werthe qg, der als die einzige Wurzel der Gleichung 
q" — A(l— q) = 0 
zwischen q = 0 und q = l erklärt ist. 
Setzt man im Besonderen, wie früher; 
A = 2, c = 10, 
so ergiebt sich für 
x= 12,00 12,23 12,49 12,79 13,14 13,56 14,07 14,71 15,51 16,58 18,09 20,49 25,63 
q = 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 0,89 0,88 0,872367... 
