Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt eeiie inededeeliiig aan van 
Prof. A. ScHOENELiES te Frankfurt a. M. : „Zur Axiomatik der 
Mengenlehre (zvveite Mitteilnng)”. 
(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 
§ 4. Endliche und unendliche Alengen. 
Hach § 3, Satz (1) und (2) sind Al a M und Al d Al die beiden 
einzigen der Beziehnngen (a), (ó), (c), ((/), die eine Menge zu sicli 
selbst liaben kann ; wir definiren nun : 1. Eine Menge lieisst u?i- 
endlic/i, wenn die Beziehnng Al a Al besteld; sie heisst a/uZ/icA, wenn 
M d Al gilt. Man bat also im ersten oder zweiten Fall 
ein AI' ^ Af -, kein ili, ^ Al, 
und danait die Dedekindsche Begriffsbestininiung. 
Wir folgern znnachst: 
2. Aus AlaAl oder AI d M und AI - m folgt und md^. 
Dies ist eine unmittelbare Folge von § 3, (12). 
Fiir endliclie nnd nnendliclie Mengen besteken gewisse Sonder- 
satze; diese sollen jetzt abgeleitet werden. Das Hanpttkeorein lantet ; 
3. Flir unendlicke Alengen können nur die Beziehimgen {a], {b), (c) 
besteken; für endliche Alengen nur (b), (c), (</). 
Der Beweis ergiebt sich nninittelbar ans den in § 3 abgeleiteten 
Resultaten. 
Sind namlich AI nnd M unendlicke Mengen, nnd würde die Be- 
ziehung AI d AH besteken, so katte man 
Al a AI und Al d N, 
und dies verstösst gegen den Satz (11a) von ^ 3. 
Ëbenso, wenn Al nnd N endlicke Mengen sind, so katte man, 
falls sie die Beziekung AI a N gestatten, 
N a Al und Al d AI, 
und auck dies verstösst gegen Satz (11a) von § 3. 
Damit ist der Satz (3) bewiesen. Er giebt zugleick den inneren 
Grund für die im Satz (11) von § 3 entkaltene CJnvereinbarkeit von 
Ma N und N d P. Denn unserm Satz (3) gemass besagt AI a JSf, dass 
