1008 
M uiid N uneiulliche Mengen sind, und N d P, dass N nnd Pendliche 
Mengen sind. Heides schliesst sicdi ader ans. 
4. Fllr jede Teih)i€nge einer endlichen Menge besteht die Beziehung 
M'hM- d.h. 
Ans MdM und M' t M folgt M'hM. 
Geniass Satz (13) von § 3 gilt nainlich für jede Menge M und 
eine Teilmenge M’ von ilir 
M' n M oder M' b Af. 
Hierzn koniint, da AI eine endliclie Menge ist, AI d AI. Diese Be- 
zieliniig kann aber nacli Satz (11) von ^3 niit jlP a il/ niclit zngleicli 
bestellen ; also ninss es AI' b AI sein. 
Die vveiteren nocli abznleitenden Satze niaclien die Binführnng 
eines nenen Axioins nötig, nnd zwaï' eines Axioms über die Aequi- 
vatenz von VevbindiingsinengQU. Es lantet: 
I. Ans AI= N p, 9^ ƒ '13 fulgt [N ,P) - (^l 'P); 
d.li. loerden in der Veilindnng.nnenge {N, P) die Alengen N und P 
dnrck die zu Urnen aerjuivalenten zu einandev f remden Alengen und 
'13 ersetzt, so ist die neue Alenge der urs prang Heken aequivalent. 
Das Axioin gilt geniass § 1, lil ancti für den Fall, dass nureine 
Menge dnrcli eine aequivalente ersetzt wird, d.li. 
5. Ans Al = (yv, P), N - 'Pk, P f P folgt (yV, P) - (9?, P). ‘) 
Wil' bevveisen nnn der Reilie nacli folgende Satze: 
6. Jede Teilmenge einer endlichen ^ienge ist selbst eine endliche 
Menge-, d.li. 
Aas Al d Af, AP t Al folgt Al' d AI' . 
Ware nainlicli AT eine nneiullidie Menge, so inüsste eine Beziehung 
A J ” - AP 
bestellen, Setzt man nnn 
M = {AP, AIA, 
so ist geniass ^2, VI aucli 
AP" = {M", ip) 
eine Teilmenge von Al^ nnd ans Satz (5) folgte 
AP" Al-, 
was einen Widersprneli gegen AldAf darstellt. 
7. Lst Al eine endliche, ISf eine unendliche Alenge, so kann uur 
die Beziehung AlbM bestellen ’) ; d.li. Ans Aid AI und Ka N folgt AlbN. 
b Es liegt nalie, Satz 5) als Axiom hinzustellen, nnd das Axiom als Folge. 
Der Beweis hatte aber die sachlich üherflüssige Annahme Si f P nötig. 
Auf diesen Satz wurde icli vor langerer Zeit von Herrn H. Hahn auf- 
merksam gernacht. 
