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Der Beweis wird so gefulirt, dass die Unvereiiibarkeit der Vorans- 
setziingen init MdM, McN, i\ldN gezeigt wird. 
Würde zuiiaclist die Beziehung bestellen, so batte man M' ISf-, 
und denigeinass erliielte man ans der Annaliino d/aiY naeli ^ 8 
j Satz 12 weiter aneh 
j 71/ a M' resp. Al' a AI, 
\ was aber, da AI endliohe Menge ist, gegen Satz (4) verstüsst, 
1 Ware zweitens AIcN in Kraft, so folgte darans AI' iV, nnd nnn 
I hieraus nnd ans NaN weiter 
I M' a AI', 
j was wiedernm einen Widersprncb znm Satz (6) darstellt. 
I Endlicb ist anoli die Beziehung AidN nnmöglicli. DennansiYa/V 
folgt zunachst 
I Y' - N-, 
I hierans nnd ans NaN nnd der angenoin menen Relation AldN folgte 
i dann weiter 
I iVaY' nnd AldN' resp. N' d AI. 
I Die Bezielinngen NaN' nnd N'dAI sind aber gemass ^ 3 Satz (1 1) 
! nicht ziigleich möglich. Also gilt in der Tat die Beziehung AlhN. 
! 8. Ist AI eine nnendliche Menge, so ist aneh die Verbindnngs- 
j menge {AI, N) eine nnendliche Menge. 
Der Beweis ist eine iinmittelbare Folge des Axioms I. Denn 
j aus A[' ^ Al folgt {AI, N) ' (/!/', N) 
und damit ist der Satz, da [AI' , N) Teilmenge von {AI, N) ist, bewiesen, 
j 9. Eine Menge ist nnendlich, wenn sie eine nnendliche Teilmenge hat. 
I Ist namlich M' diese Teilmenge, so ist 
I M = {M',M,) 
nnd daher gemass Satz (8) aneh AI eine nnendliche Menge. 
Man kann diesen Satz aneh noch so formulieren : 
9'. Eine Menge ist endlich, wenn jede ihrer Teilmengen endlich ist. 
10. Ist AI eine endliche Alenge, so ist stets AI h {AI,N) -, d. h. Ans 
Aid AI folgt Alh {AI,N). 
Es ist namlich AI Teilmenge von {AI, N). Ist nnn (J/, iV) endlich, 
so folgt der Satz ans (6), ist alier (J/, iY) nnendlich, so folgt er aus (7). 
Zur Atileitnng weiterer Satze bedürfen wir nener Axiome. Das 
Axiom I besagt, dass die Verbind nngsmengen aeqni valenter Mengen 
selbst aequivalent sind; wir haben jetzt noch zwei Axiome nötig, 
die die Nic/itaequivalenz der Verhindung.nnengen nicht aequivalenter 
Mengen betreffen. 
