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II. Smd M 7md N f remde Mengen, ist Teibnenge von M und N ^ 
Teilmenge von N, und ist nicht M, nicht N, so folgt 
daraus die Beziehung [M^, N d nicht ^ {M, N)-, d. h. 
Aus M/N, il/, t M, iVi t ld , nicht ^ M, nicht N 
folgt (il7i,iV,) nicht -^{M,N). 
Dieses Axiom soll für alle Mengen geiten. Für endliche Mengen 
reiclit es aber nocli nicht aus, und werde durch das folgende 
ersetzt und erganzt: 
III. Sind M und JSh f remde und zugleich endliche Mengen, und ist 
d/j Teilmenge von M, so soll stets {M^, N) nicht {M, N) sein-, d.h. 
Aus MfJd, MdM, Ndl^, MjM folgt {M„N) nicht - {M,N). 
Für unendliche Mengen braueht dieses Axiom bekanntlich nicht 
erfüllt zu sein. 
Auch die Voraussetzungen dieser Axiome besilzen durchaus den 
in der Einleitung genannten logischen Sondercharacter ; sie sind 
samtlicli negativer Natur, soweit es sicli urn die hier allein in Frage 
stellenden Aequivalenzbeziehungen handelt. Man könnte freilich 
annehmen, dass in diesem Fall ein indirectes Beweisverfahren zum 
Ziele führen werde; die Annahme 
{Af, Nd ^ {,M, N) resp. {M^, N) (fl, N) 
ist ja von positivem Character. Aber diese Vermutung trügt. Die 
Aequivalenz von Verbindungsinengen ist namlich keineswegs nur so 
niöglich, dass 31^ ~ M und N^ ^ N, ist sondei-n auch auf andere 
Weiso; und daher kann aus der angenommenen Aequivalenzbeziehung 
ein Widerspruch init den Voraussetzungen 
ifj nicht M, N^ nicht N 
nicht abgeleitet worden. 
Die negative Fassung unserer Axiome stellt uns zunachst vor die 
Aufgabe, die bestimmte Beziehung (a), (6), (c), (f/)* aufzufinden, die 
zwischen {31, N) und den Mengen {3f,Nd und (J/j, A^) besteht. Für 
das Axiom II kann es erst im naclisten Paragraphen geschehen ; 
für das Axiom III soll es hier folgen. 
Da {31^, N) Teilmenge von {31, N) ist, so kann nach SatzlSvon 
^ 3 nur die Beziehung (a) oder (6) realisirt sein. Aber der Fall (a) d. h. 
a{M, N) 
ist unmöglich. Jede Teilmenge von (71/,, N) bat namlich nach § 2, 
VI eine der Formen 
M„M^, N,N„ (M,,xV), 
WO A/, eine Teilmenge von A/, ist. Keine von ihnen kann aber zu 
(A7, N) aequivalent sein. Da namlich 31 und iV endliche Mengen 
sind, so bat man für sie gemass (10) die Relationen 
