1011 
Mb {M, N) nnd Nb {M, N). 
Geriiass Satz (4) hat man weiler 
47, b M, 47^ b 4/, NN ^ 
und damit Iblgt die Belianptnng nacli Satz (6) voji ^ 3 bereits für 
M^, M^, iV, iV,. Für die drei Verl)indungsmengen folgt sie aiis den 
Axiomen selbst; es ist ja, da 31 und N endlicbe Mengen sind, 
4/, 7iicht 31, 31, nicht ^ 31, iV, nicht N 
und damit ist in der Tat die beliauptete Nichtaequivalenz eine P''olge 
von (II) und (III). Also 
11. Für endliclie (und fremde) Mengen 4/und iV' gilt die Bezielmng 
(4/,, N) b (M, i\4. 
12. Die Verbindungsnienge zweier endlichen Mengen ist selbst 
endlich] d. h. 
Ans 31 d 31 und N d N folgt (47, N) d (yI7, N). 
Wir haben nacbzu weisen, dass die Beziehung 
(47, N) a (4/, N) 
ausgesch lossen ist. Nun hat jede Teilmenge von (47, N) wieder eine 
der Formen 
17, 17„ N, 7V„ (47, A\), N), (47„ iV,) 
j und wir beweisen, genau wie eben (vgl. aucli § 5, 2), dass keine 
I dieser Mengen zu (47,^) aequivalent ist. Damit ist der Satz bewiesen. 
1 ^ 5. Das Aeqidvalenzproblem . 
i 
! Die wichtigste Aufgabe, die zu beliandeln ist, betrifft den Nach- 
I weis, dass die Mengen M und N aequivalent sind, falls für sie die 
j Beziehung 
31 a N oder 47 d N 
besteht; also der Satz (Aequivalenzsatz) 
1. Aus M a N oder 3d d N folgt 31 ^ N . 
Ehe der Beweis geführt wird, sollen die Aequivalenz-Relationen 
vorangestellt werden, die sich aus den vorstehenden Paragraphen 
unmittelbar ergeben : 
2. Aus 31 b N und 31 c N folgt M nicht ^ N . 
Ware namlich 31“^ N, so batte man auch (^ 3, 12) 
N b N oder Nc N, 
was aber gemass § 3, 3 widerspruchsvoll ist. Hieraus folgt unmittel- 
bar weiter 
3. Mit M N ist nui' 31 a N oder MdN verti'dglich. 
Die Umkehrung dieses Satzes 3 ist es, die den eigentlichen Aequi- 
