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valeiizsalz (1) bildet. Ist er bewiesen, so folgt endlich noch, al» 
ürnkebrung von (2) 
4. M nicht ^ N folgt M b N oder M c N. 
Man kann diese vier Saize ancli folgendermassen znsammenfassen: 
Die Beziehungen (n) nnd {d) sind hinreichende und notwendige Be- 
dingivngen f 'dr die Aequivalenz, [h) wid (c) ebenso fiir die Nicht- 
aequiiudenz. 
Als Folge von (4) ergiebt sicli, was in ^ 3 und 4 noch olfen 
bleiben nmsste, 
5. /la.s' t M und nic h t M folgt Af^b M. d. li. Besteht 
fiir die Teil meng e Af von AI die Beziehunq AI^ nicht ^ AI, so gilt 
‘d/, b AI 
Deun nach (4) gilt AfbAl oder AI^cAf-, nach Satz (13) von §3 
niii- d/j a AI oder AI^ b Af also gilt Af b AI. 
Fine Anwendnng liiervon giebt and) Antwort anf die bezüglich 
des Axioms 11 in ^ 4 gestellte Frage. Es folgt jetzt 
6. Sind dfi nnd N.^ Teihnetigen von AI und N, und ist AI.^ nicht 
^ Af nicht N, so folgt daraus stets (d/j, /Vj b {Ad, N). 
Wil' gelien nnn zum Satz (1) übei' und beweisen ziinachst den 
ersten Teil, also den eigentlichen Bernsteinschen Aeqnivalenzsalz. 
Sein Beweis folgt aus deni Axioni II von § 4 übei' die Nichtaequi- 
valenz der Verbindnngsniengen. 
Aus der Voranssetznng d/a iV folgt zunachst 
ein AT ^ N, ein N' ^ AI 
Ware mm AI nicht ^ N, so batte man nach §1,3 
AI nicht ^ AT , N' nicht ^ N. 
Mil AI nnd N sind aber auch d/' und fremde Mengen (§2,1); 
sie l)estiinmen daber eine Menge (d/"', iV'), nnd für sie inüsste gemass 
Axiom 11 nunmebr 
{AI', N') nicht ^ {AI, N) 
folgen. Andererseits folgt aber aus den beiden ersten Relationen 
unnnttelbar nacb § 4, I 
(M', N') ' {M, N) 
nnd damil ergiebt sich ein Widersprucb. Datnit ist der Beweis 
bereils geliefert 
Freilicb berubt der Beweis anf einer gewissen Voranssetznng, die 
nocb zn erörlern isl. Wir opei'ieren mit der Verbindnngsmenge von 
AI nnd N nnd baben desbalb die Voranssetznng nötig, dass il/und 
N fremde Mengen sind. Sind sie es nicld, so wird man am ein- 
