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natürlicli zweckgemass — geformt werden, ehe man die Frage, oh 
zwei gegebene Grossen als gleich zu geiten haben, in Betracht ziehen 
kann. Man denke z. B. an die Weierstrassische Theorie der Irratio- 
nalzahlen; sie setzt bekanntlich die Gleichheit zweier Zahlen a und 
b so fest, dass jeder Bestandteil von a kleiner ist als b nnd jeder 
Bestandteil von b kleiner als a. Eine solche axiomatische Festsetzung 
erweist sich also anch im Gebiet der endlichen Mengen, wenn man 
sie, wie hier, ansschliesslich anf die Mengenbeziehungen, d. h. auf 
die Nichtaequivalenz von Menge nnd Teilmenge gründet, als eine 
Notwendigkeit. 
Es fragt sicli nur, welche Festsetzung man zweckmassig zu Grande 
legt. Beachtet man, dass es sich im Grande am eine Axiornatik der 
Grössenlehre handelt, so liegt offeribar nichts naher, als d^e eben 
genannte Definition zu benatzen, und dies soll in der Tat geschehen. 
Wir setzen also fest {Axiom der Aquivalenz endlidier Mengen) 
II. Zwei endliche Alengen M und N sind aeqidvalent, wenn fiir 
jede Teilmenge AT und Isf' die Beziehung AT b N resp. N' b Al besteld-, é.\\. 
Aus MdM, NdN, ATbN, A^' b Al fur jedes M' , N' folgt Al - N. 
Hieraas lasst sich der Satz, dass aas i)/ c? ^ aach AI ^ N folgt, 
anmittelbar folgern. Ehe wir daza übergehea, wollen wir noch die 
Berechtigang anseres Axioms and seine Stellaag im gesamten Aafbaa 
naher erörtern. Wir wollen zanachst nachweisen, dass von den vier 
Beziehangen 
iIƒa^^ MhN, McN, MdN 
nur die letzte mit dem Axioin vertraglich ist. 
Aas M a N folgt 
ein M' N-, 
gemass unserm Axiom ist abei’ für jedes AT 
M' b N 
and man erhielte also Tf b ISf, was aber nach § 8,3 widersprachs- 
voll ist. 
Aus AI h N folgt 
ein N' ^ AT, 
was analog zar Relation AI h M fahrt, die ebenfalls widersprachsvoll ist. 
Endlich folgt aas AI c N genaa wie eben die widerspruchsvolle 
Relation N b N. 
Unser Axiom kann also in der Tat nar mit der Beziehung Af iV 
vertraglich sein. Dies ist aber aach wirklicli der Fall. Die Folge- 
rangen, die sich aus 
AT b N and AI d N, aas N' b M and Al d N 
