1017 
Wegen liat nian namlicli 
M ~ W', 
WO mit AI aiich eiiie endliche Meiige ist. Hieraiis nnd ans 
H Al folgt weder 
(ilA N) — (’Vd, 
Wir utdersclieiden nuii, ob W eine eiidliclie oder mieiulliclie 
Menge ist. Itn erslen Fall sind (Tf'd, 7R) nnd eiidliclie Mengen, 
ferner ist (iW', il'J) Tednienge von {Ayi,Al) nnd dalier ist geinass ^4,4 
(^)r il7) h (iSï Al). 
Ist aber iHï eine unendliohe Menge, so ist i)7) nacli ^ 4, 8 
ebenfalls eine nnendliche Menge; dagegeii ist nacli ^ 4, 12 
endlich nnd dalier gilt ebenfalls (§ 4, 7) 
Wegen ''Ui' Af, ~ JV folgt darans wei ter 
(M, N) b (W, Al). 
In den andern Fallen lassen sieli eindentige Folgernngen nicld 
entnehnien. Nur soviel sei bemerkt, dass mit den Relationen 
nnd Nb Al 
jede der beiden Beziehnngen 
(l/,A')a(W,i)l) nnd (4/, iV) 6 (iDl, 
verti'aglicli ist. 
§ 7. Schlus.<tbetraclituny . 
Die vorstehende Untersnclinng liefert jedenfalls ein Innreichendes 
Axiomensystem tur die Siitze, die die Aecjiiivalenzprobleme der 
Mengen betrelFen. Wird für den Angenbliek noch die Bezeielimmg 
Al e N ïüv die Aeqnivalenz von Af nnd Nf eingeführt, so handelt es 
sicli genauer gesproclien, nm die Kombination der Beziehnngen, 
die dnrcli 
MaN, MbN, McN M d N, M e N, AI f N, MtN,{M,N) 
dargestellt sind, nnd nm die Art, wie sie assoziativ einander bedingen 
und sich mit einander verbinden. Ob die anfgestellten Axiomesamt- 
lich notwendig sind oder ancli entbehrliche Bestandteile enihalten, 
mag olfen bleiben. Abgeselien von den Axiomen mehr formaler 
Bedentnng, wie die über Af e AI, 4/ ƒ zV, iV^sind es wesentlich die 
folgenden, die die materiellen Stützen des Anfbanes darstellen: Das 
Axiom der Verhul j)f wig, die Axiome über die Ae(juiv<(lenz der 
Teümengen nnd der Verhindungsiuengen, die Axiome über die Aficht- 
aeqiiivalenz der Verbindnngsmengen nicht ciequiva! enter Afengen nnd 
