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das Axioni über die Aequivalem endliclLer Mengen. Die Characteri- i 
sirnng, die iii diesen Bezeiclmungen enthallen ist, zeigt sclion die 
Verschiedenheit der Gebiete, denen sie aiigeliören, und zeigt auch [ 
ihre allgemeine Notwendigkeit für den Aufbaii. j 
Wie bereits in der Einleitung erwabnt, ist die vorstebende Betrach- j 
tung zngleicli eine Axiomatik der Grössenlelire ; in der Tat ist ja von j 
den Elementen der Menge nirgends die Rede. Dies ist aucb die | 
Tatsaclie, die dem in ^ 3 gefundenen Resnltat seine Stellnng im | 
axiomatischen Anfban anweist. Wir fanden dort, dass mit den j 
Beziehungen M d N und ISf d P auch die Folgerung il/a P vertrag- 
licb ist. Sie könnte deslialb an sicb ebenfalls als axiomatische Eest- i 
setznng an Stelle des Axioms II eingeführt werden. Wie wir sahen, 
bewirkt sie als weitere Folgerung, dass aus MaP und P d N sich j 
M d ]Sf ergiebt, und liefert ebenfalls ein in sicli widerspruchsfreies j 
System von Beziehungen. Es Hess sich durch die Formeln | 
{a a) — [cl d) = a\ [a d) — [d a) ■=! d \ 
darstellen. 
Dies wollen wir nun deuten. Zunachst ist zu beachten, dass in die 
vorstehenden Schlüsse die Beziehungen MhN und McJSf nicht eingehen, 
dass es sich bei ihnen vielmehr nur um Wund il/ c/ Wund deren 
Kombinationen handelt. Nur auf sie beziehen sich also die obigen Regeln ! 
und auf sie beschranke ich mich zunachst. Die Aufgabe ist dann, j 
Objecte mit Grössencharacter zu finden, die sich diesen Regeln fügen. ’ 
Die in § 3 erwahnte Analogie mit den Vorzeichenregeln macht dies 
leicht. Man erreicht es, indem man entgegengesetzte Grossen in | 
Betracht zielit, deren Teile zum Ganzen in der durch (a) festgelegten 
Beziehung stellen, also der Dedekindschen Definition genügen; die j 
Beziehung MaN gilt dann für gleichartige, dagegen MdN für | 
entgegengesetzte Objecte. Einseitig begrenzte Geraden von unend- j 
licher Lange aber entgegengesetzter Richtung bilden ein einfaches i 
Beispiel, falls man als Teilmenge jeden ebenfalls unendlichen Bestand- ; 
teil betrachte! und die Aequivalenz z. B. durch eineindeutige Aehn- | 
liclikeitsabbildung defmirt. Für je zwei von ihnen besteht dann ^ 
ent weder die Relation [a) oder [d). 
Man kann leicht ei'reichen, dass auch die Beziehungen [b) und (c) auf- 
treten. Dies geschieht so, dass man auch Panre entgegengesetzt 
gerichteter Geraden als Objecte zulasst. Für je zwei solche Paare 
besteht dann die 'Beziehung (a), für jedes Paar und eine einzelne 
Gerade die Beziehung (b) oder (c), und für je zwei einzelne Geraden 
die Beziehung (ai oder [d). Die Gesetze 
(a a) = [d d) = a, [a d) — [d a) = d 
