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bleiben offenbar bestehen. Beziehungen (bb), (bel), (de), und (cc) sind 
unmöglich. Dagegen giebt es hier eine Kegel für (6cj ; es kann sowol 
(a) wie ((/) resultieren. Endlicli ergeben die Beziehungen 
(a b) (b a) (d b), (a c) (c a) (c d) 
(b) oder (c) als Resultat. 
Die Tafsache, dass die Cantorsche Theorie die ünvereinbarkeit 
der Annahme, und N' seien unendliche Mengen, mit der Beziehung 
MdN des §3 nicht nachtzuweisen vermochte, erfahrt hierdurch 
neues Licht. Denn die Zulassung von Elementen von zweierlei Art, 
die einander entgegengesetzt sind, streitet weder gegen den Mengen- 
begrifF als solchen, noch auch gegen die Dedekindsche Definition 
der unendlichen Mengen und die auf ihr ruhenden Eigenschaften. 
Für den so erweiterten Mengenbegritf kann aber, wie wir sahen, im 
Fall unendlicher Mengen auch die Beziehung MdN realisiert sein. 
Wie weit sich auf solche Mengen die weiteren Begriffe und Satze 
der Cantorschen Theorie übertragen lassen, mag an dieser Stelle 
auf sich beruhen bleiben. 
Nur das sei noch erwahnt, dass die allgemeine Weiterführung 
der bisher gefundenen Resultate in erster Linie die Beziehung der 
Menge zu ihren Elementen, ferner den Ordnungsbegriff u.s.w. ins 
Auge zu fassen bat. Ich will noch kurz zeigen, wie man die Elemente 
der Menge auf der hier vorhandenen Grundlage einführen kann. 
Voranzustellen ist das folgende Axiom: 
I. Jede Menge enthalt Teihnengen, die nicht niehr selbst in Teil- 
mengen zerlegbar sind; sie heissen unzerlegbare Teihnengen oder 
Elemente. Sie sollen durch 
m T M oder kürzer durch m 
bezeichnet werden. Von ihnen gilt der Satz : 
Ist M N, so kann eine nicht zerlegbare Teilmenge von A/keiner 
zerlegbaren Teilmenge von N aequivalent sein und umgekehrt. 
Aus der Aequivalenz M N folgt namlich nach Axiom I von ^3 
zu jedem M' die Existenz einer Teilmenge N von N, so dass 
M' ~ N' 
ist. Würde nun ni=^M' ein zerlegbares N' bedingen und ware 
N' eine Teilmenge von N' , so folgt aus M' ~ N' gemass demselben 
Axiom, dass N' die Existenz einer Teilmenge von m bedingt, die 
zu N" aequivalent ist; was aber einen Widerspruch darstellt. 
Von diesern Tatbestand kann man nun wieder verlangen, dass 
er auch umgekehrt gilt; d. h. man kann fordern : 
II. Zwei Mengen M und N sind aequivalent, roenn jedem Element 
von M ein Element von N zugeliört und umgekehrt. 
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Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVIII. A». 1919/20. 
