Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt eene mededeeling aan van 
den Heer Arnaud Denjoy: „Sur les ensembles clairsemés.” 
(Mede aangeboden door den Heer W. Kapteyn). 
Selon nne définition que j’ai proposée, (Journal de Matli. pnresel 
appliquées, 1916), je dis qn’un ensemble est clairsemé qnand il est 
non dense sur tout ensemble parfait. 
Soit E nn ensemble qnelconqne, Tensemble des points de E 
qni sont limites a E. Soit u un nombre ordinal qnelconque. Si u 
est de première espèce, soit Eo^ l’ensemble des points de i qui 
sont limites a Er^-\. Si a est de seconde espèce, soit E^ l’ensemble 
des points communs a tons les Ey. , de rang inférieur a a. Chacun 
des Ey contient tons les ensembles suivants. Je dis qne tons les Ey 
sont nnls ou coïncident A partir d’un certain rang de «. 
En effet Eyj^x est l’ensemble cornmun a JS'a et a son dérivé E' y. 
Donc l’ensemble E' y contenant Eyj^x, contient tons les ensembles 
E, d’indices X supérieurs a a. Gom me E' y est fermé, E' y contient 
tons les ensembles E' t si A «. Donc, d’après nn théorème connu, 
il existe nn rang /I tel que E' p E ' si f <é d, et tel que 
E' ji = Ef+i = . . . Ej, étant situé dans E'y ponr A )> «, E\ est situé 
daris Ie dérivé E"y de E'y. Donc, si E' ^ )i’est pas nid, E' ^ est 
parfait, puisqu’il coïncide avec un ensemble contenu dans 
son dérivé E " Dans ce cas, situé sur E' ^ et ayant pour 
dérivé E' li lui-même, E^-\-i est partout dense sur E' E^j^x, que 
nous désignons par F, est dense en hd-niême et a pour dérivé 
rensemble parfait E ' ou F. 
Si E' ii est nul, EjS a un nombre limité de points, ou est nul. En 
tons cas, E^^-^x est nul. 
Soil F^ un ensemble parfait sur lequel E est partout dense, et H 
l’ensemble commun a P, et a E. H est dans P, et, de proclie en 
procbe, dans Ey quelque soit «, donc dans donc, Ie dérivé 
de H, soit E^, est dans F, dérivé de P/ 3 -f-i. Si donc P^s-fi est nul, 
E est non dense snr tout ensemble parfait. Si E^^x o’est pas nul, 
soit G rensemble des points de E qui ne font pas partie de F. 
L’ensemble Gy est contenu dans Ey quelqne soit a. Donc, ér^s-fi est 
dans donc dans F, mais ér, 3 -|-i est aussi dans G. Comme G 
est dislinct de F, est nul. Donc, G est clairsemé. 
Tont ensemble est donc la réunion d’un ensemble dense en lui-même 
